Comment déterminer si un dé est pipé ?

[Solitonique]

Bonjour,

Un petit problème qu'on m'a posé et auquel je n'ai pas sû répondre :

Soit un dé à 100 faces (1 à 100).

Combien de fois faut-il jeter ce dé pour pouvoir dire avec une probabilité d'erreur inférieure à 1% que ce dé n'est pas équilibré ?

Intuitivement je pense que la moyenne des tirages converge vers 50.5 assez rapidement, mais j'ai été incapable de répondre avec précision à la question posée.

Quelqu'un connait la réponse ? Et quelle est la Loi utilisée pour le calcul ?

Merci d'avance
-----

[invite9e95248d]

ça parait dur comme question ^^
je dirais beaucoup

[invitef6a8dd1c]

Il s'agit en effet d'une question assez complexe.

En fait, une série de lancers va donner une valeur moyenne, dont on s'attend en effet à ce qu'elle soit proche de 50.5, si le dé n'est pas pipé, mais en fait, elle peut être (fort) différente, avec une probabilité d'autant plus faible qu'elle sera éloignée de la valeur moyenne, sans que le dé soit pour autant pipé.
Ce qu'il faut alors calculer, c'est pour une observation (valeur moyenne sur N lancers), la probabilité de cette valeur, en fonction des probabilités de chaque face, et d'"inverser" les fonctions de probabilités, afin d'obtenir les probabilités de chaque face.
C'est déjà compliqué dans le cas d'une loi binomiale (pile ou face, par exemple), alors je n'ose même pas imaginer dans le cas d'un dé à 100 faces.

Geoffrey

[acx01b]

hmmm

keske voulez vous dire avec 50,5 ?

car je vois pas la probabilité que ça soit 50,5 plutot que 49.5....

si tu fais la moyenne, si le dé est pipé sur le 50 et que autour de la face 50 t'as les face 48 49 51 52... tu risques d'avoir une moyenne trés proche de 50 quand même.

mais bon je suis nul en proba mais je sais que le calcul n'est pas trés compliqué pour savoir que dans plus de 90% des cas au bout de 1000 lancés pour le dé non pipé à 100 faces chaque face sera tombée entre 7 et 13 fois.
(7 13 et 90% : j'ai dit au pif, en vrai c'est x y et z qui sont à déterminer par le calcul)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef6a8dd1c]

A titre indicatif, dans le cas d'une loi binomiale, pour déterminer le paramètre p de la loi, avec une probabilité de 5%, et un demi-intervalle de confiance de 0.05, il faut effectuer 271 lancers (c'est-à-dire qu'après 271 lancers, la valeur réelle Pr du paramètre, et la valeur "observée" Po sont telles que:
P(Po-0.05 <= Pr <= Po+0.05) = 95%

Pour avoir une précision encore plus grande, il faut encore plus de lancer.

Geoffrey

[Solitonique]

Je crois que le plus facile c'est de faire une simulation : un petit programme fera un grand nombre de jets et tracera des courbes. Pas très rigoureux mais efficace. Faudra juste le laisser tourner assez longtemps pour que les résultats soient très proches du calcul théorique.

Merci de vos contributions !

[invite7f2cba89]

exactement! tu peux même faire ça sur une calculatrice graphique incluant la programmation. (type Texas Instruments 83, sans faire de pub )

par contre tu risque d'avoir des problèmes de type "overflow" si tu fais trop de simulations à la suite.

Bonne chance!