question sur les groupes

[MissJenny]

bonjour à tous,

est-il vrai que dans un groupe abélien (mais c'est sans-doute sans importance), disons (G,+), étant donnés deux élements a et b, a non nul, il existe toujours un endomorphisme u de G tel que u(a)=b ?

j'ai l'impression que ça doit être vrai mais je n'arrive pas à le démontrer.

note : l'application x -> x - a + b n'est pas autorisée puisqu'on doit avoir 0 -> 0
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[gg0]

Bonsoir.

Dans Z/(4Z), peut-on avoir u(2)=3 ? Alors u(2+2)=3+3 ce qui donne u(0)=2; pas 0.

Cordialement.

[MissJenny]

ah oui en effet! merci. Je vais essayer de trouver dans quels groupes c'est vrai.

[gg0]

Pour les groupes finis, il me semble que c'est bon dans les avec p premier : Soit b=0 et u est l'endomorphisme nul, soit b est non nul et les multiples successifs de a et b prennent toutes les valeurs possibles pour les facteurs 1 à p.
Dans ou, pas de souci , mais dans , u(2)=3 coince car avec c=u(1), on a un entier c tel que 2c=3.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MissJenny]

zut! j'étais en train de me dire que ça devrait marcher s'il n'y avait pas d'éléments d'ordres finis différents mais Z est un contre-exemple. Maintenant je pense que ça doit marcher pour les groupes additifs des corps finis (qui ne sont pas les groupes quotients Z/p^kZ). Voyons si j'arrive à démontrer cela avant que tu me sortes un contre-exemple...

[GBZM]

Bonjour,
Ça marche bien sûr pour les espaces vectoriels quelconques sur un corps quelconque (et en particulier pour les groupes additifs des corps).

[Cipad]

Bonjour,
Sauf bêtise de ma part, les seuls groupes abéliens vérifiant cette propriété sont uniquement les espaces vectoriels:

cas 1: il existe p premier, il existe non-nul tel que .
Alors pour tout non-nul, il existe un endomorphisme tel que .
Donc, .
Tout élément non-nul de est d'ordre p. G est donc un espace vectoriel sur . (https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe...%C3%A9mentaire)

cas 2: Pour tout p premier, pour tout x non-nul,
Notons que est alors sans torsion.
Montrons que est divisible. Soit non-nul, on a est également non-nul.
De plus, il existe un morphisme tel que . Donc, . est n-divisible pour tout n.
Tout groupe divisible est isomorphe à un somme directe de groupes de Prufer et de (https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_divisible)
Comme de plus, est sans torsion, i.e. est un -ev.

[MissJenny]

merci. Je ne connaissais pas la notion de groupe divisible.

J'explique pourquoi je m'intéressais à cette question. Je lis un cours sur les modules, mais il y a peu d'exemples et sans exemples je ne comprends pas les choses. Donc j'ai pensé à l'exemple suivent : on se donne un groupe abélien (G,+) et on considère l'ensemble A des endomorphismes de G. Si on munit A de l'addition issue de celle de G et de la composition, A devient un anneau. Cet anneau opère sur G qui peut être vu comme un A-module à gauche (si je ne dis pas de bêtise). Si on veut spécialiser, on peut penser au groupe additif d'un espace vectoriel de dimension n et à l'anneau des matrices nxn. La conjecture (fausse) que je faisais disait toutefois que ce module n'était pas très intéressant, puisqu'en quelque sorte de dimension 1.