Théorème de Stokes

[jall2]

Bonjour

Je n'ai jamais compris (intuitivement) le théorème de Stokes (ni Ostrogradsky), pourquoi l'intégrale double de rotF.ds sur une surface close du plan ne dépend que du champ F à la frontière de la surface

J'ai trouvé une animation censée expliquer "intuitivement" le théorème, ici:

https://x.com/RWPhysics/status/20810...074398/video/1

mais je ne la comprend pas.

A 21s, il est écrit:

"neighboring swirls cancel, only the boundary is left"

Je ne vois pas pourquoi.

le champ rotF est orthogonal à la figure, il est continu, il n'y a aucune raison que rotF.ds sur une case s'annule avec le rotF.ds d'une case adjacente (et laquelle d'ailleurs)

Avez-vous une explication svp ?


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[MissJenny]

c'est un peu la même chose que si tu veux connaître la pente moyenne d'une route. Tu peux mesurer la pente mètre par mètre (en + ou en - selon que ça monte ou que ça descend) et calculer l'intégrale de cette pente. Ou bien tu considères juste l'altitude de départ et celle de l'arrivée, fais la différence et divise par la longueur projetée de la route. Tu vois que l'intégrale ne dépend que de ce qui se passe aux deux extrémités de la route (l'analogue du contour)

[jall2]

J'aime bien votre explication, même si elle n'explique pas dans les détails ce qui se passe avec le rotationnel. Je commence à penser que l'explication du théorème de Stokes dans la vidéo est fausse.

Votre exemple de hauteur (ou pente) peut s'écrire:



C'est analogue et compréhensible

[gts2]

Bonjour,

De toute manière, comme il ne définit pas le rot, il peut raconter ce qu'il veut ... (il n'y avait une autre video avant celle-ci ?)
Sinon l'annulation, je la vois plutôt comme l'annulation de la circulation, la circulation sur le pourtour est la somme des circulations sur les carrés, chaque circulation sur un côté intérieur d'un carré est annulée par la circulation du carré d'à côté qui tourne dans l'autre sens.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jall2]

Non, il n'y avait pas d'autres vidéos avant celle que j'ai indiquée.

J'ai trouvé cette définition du rotationnel ici: http://talbourdel.yves.free.fr/resou...otationnel.pdf

"Le rotationnel d'un champ vectoriel relie la circulation locale de ce champ le long d'un petit contour fermé au flux de ce même rotationnel à travers la surface s'appuyant sur ce contour, selon la relation dC = rotA.ds"

Avec cette définition, qu'il faudrait détailler ... , on comprend pourquoi quand on somme (double) rotA.ds sur une surface, on retrouve la circulation de A autour de la surface. Tous les dC élémentaires s'annihilent sauf dans les bords

C'est bizarre si je clique sur le lien, je ne récupère pas le pdf ...

[jall2]

XXXXhttp://talbourdel.yves.free.fr/resources/DOC/rotationnel.pdfXXXX

Copiez le lien sans les XXXX

C'est étonnant, si je ne mets pas les XXXX il y a une redirection qui se produit quand on clique sur le lien

[Anonyme007]

Bonsoir,

Si je peux me permettre, voici quelques éléments de réponses en plus de ce qui a été déjà expliqué plus haut,

L'expression, n'est autre que la trduction de l'écriture, , avec, , frontière de la surface sur quelle s'intègre la -forme , tandis que, , est la surface d'intégration de la -forme , où, .

Pour plus de détails, voir ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...A8me_de_Stokes

L'utilité de la formule, est qu'elle permet de définir un ''pairing'' parfait :
définie par,
Et donc, cela entraine une dualité, .

Jette un œil sur un cours portant sur la cohomologie de DeRham sur le net.

Cordialement.

[ThM55]

Bonjour jall2. Si vous étudiez les preuves du théorème de Stokes on vous embarquera probablement dans des machins formels avec des décompositions de l'unité, des formes différentielles, Cartan, de la cohomologie, etc. Cela ne répond pas à la question de départ, qui est je pense de comprendre plus intuitivement ce que l'on fait.

A l'âge de 18 ans, j'avais appris deux méthodes: dans un cours de maths, axiomatique et rigoureux, et dans un cours de physique. Ce dernier utilisait la méthode des infinitésimaux "naïfs", à la Leibnitz, Euler, Laplace, Gauss etc, plus intuitive. Sans entrer dans une preuve complète, voici l'idée générale: on décompose la surface en petits parallélogrammes infinitésimaux P_i et on intègre sur leur contour. On montre facilement que sur ces parallélogrammes infinitésimaux, au premier ordre on a . Ensuite on remarque que, si on intègre toujours dans le même sens (anti-horlogique) deux parallélogrammes contigus voient leur frontière commune parcourue dans des sens opposés, donc leurs contributions respectives à l'intégrale s'annule. Il ne reste pour l'intégrale de contour que les frontières non compensées, qui forment le contour de la surface S. Je pense que c'est ce point que vous avez demandé d'éclaircir. La considération des infinitésimaux permet de se passer du passage à la limite, mais il est bien entendu possible (et recommandé) de faire une preuve rigoureuse avec les mêmes idées.

Ce que j'ai décrit est ce qu'on voyait à l'époque (années 1970) dans les gros cours de physique américains de type Berkeley ou chez les Russes (Mir).

[stefjm]

C'est de l'holographie avant l'heure avec réduction dimensionnelle et conservation de l'information.