Une propriété décisive de la règle de calcul Collatz
La règle de calcul Collatz, appliquée sur un nombre ou sur chaque successeur ou prédécesseur d'un nombre, produit une trajectoire qui rejoint une trajectoire initiale.
C’est aussi le cas de l’algorithme inverse partant de 1 qui permet un calcul sans fin des prédécesseurs.
Toutes les trajectoires produites appartiennent à un arbre infini des trajectoires convergentes dont il est nécessaire, cependant, de prouver l’existence. ============================== ============================== ============================== ===
Pour le prouver, nous utilisons un calcul différent de la formule Collatz, un calcul sans fin produisant à chaque répétition une nouvelle trajectoire prouvée convergente.
Les termes de ce calcul sont algébriquement prouvés.
On sait que N = 8p+5 et A = 2p+1 ont un même successeur 6p+4.
Les trajectoires de N et A sont donc prouvées convergentes.
Mais il faut un nouveau terme permettant la répétition du calcul et ce terme est B = 8k + 5, prédécesseur de 2p+1
car tout nombre impair a un prédécesseur immédiat congru 5 modulo 8, calculé selon A modulo 3 :
Si A mod 3 = 1 alors B = ((2A-2)/3) x 8 + 5
Si A mod 3 = 2 alors B = ((A-2)/3) x 8 + 5
Si A mod 3 = 0 alors A = 6s+3 et A est remplacé par 24s+13 (même successeur) ; A mod 3 = 1.
La trajectoire B est évidemment convergente.
Le seul but de B = 8k+5 est de permettre la répétition du calcul avec un nouveau N = B.
Donc les nouvelles trajectoires A et B ou seulement B (dans le cas de A mod 3 = 0) sont toutes prouvées convergentes avec la trajectoire initiale et ce calcul est sans fin.
Par ex., En appliquant la règle Collatz sur 25, le premier terme de la forme 8p+5 rencontré est 29. Le premier successeur de 29 est 11. Les nombres obtenus par ce calcul sans fin, dont un aperçu ci-après de la structure locale de l’arbre infini des trajectoires convergentes, produisent une trajectoire prouvée convergente avec celle de 11.
N = 29 : A = 7, B = 37
N = 37 : A = (37), B = 197
(cas où A mod 3 = 0, A =9 (6r + 3) est remplacé par 37 (24 r + 13))
N = 197 : A = 49, B = 261
N = 261 : A = 65, B = 173
etc. indéfiniment.
La présence des 8p+5 dans les trajectoires est démontrée par le tableau des chemins modulaires.
Lien vers diagramme des chemins modulaires
Pour chaque élément N = 8p+5 d’une trajectoire, on obtient une infinité de trajectoires A et B ou seulement B, prouvées algébriquement convergentes.
Je vous serais très reconnaissant pour votre retour, notamment savoir si ce calcul suffit à prouver cette conjecture.
#Collatz #NumberTheory #Math
16/09/2026
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