Problème d'inégalités...

[invitea87a1dd7]

Bonjour à tous,
Dans cet exercice :


A la question 4.a, je n'arrive pas à montrer la deuxième inégalité.
J'obtiens après calcul, qu'il suffit de montrer que :



On voit donc bien qu'il s'agit d'une inégalité très fine puisqu' on sait que

Et que est supérieure à 2...

Merci de m'aider à débloquer la situation
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[invite636fa06b]

Bonjour,

En fait il te suffit de remarquer que les qi sont >2 et donc

[invitea87a1dd7]

Euh désolé zinia, mais je vois pas trop là...
On doit utiliser ça dans l'inégalité que j'ai trouvée ?
Comment comparer les termes de la forme ?

Merci

[invite636fa06b]

Non il faut travailler directement sur le premier terme.
Effectivement c'est un peu plus compliqué que je ne pensais

Pose le premier terme se réécrit :
je te laisse calculer B que tu dois pouvoir majorer par 2 en utilisant le fait que les peuvent être majorés par 1/2

Il reste à vérifier que ça permet de conclure ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite636fa06b]

Désolé mais il y a un problème d'énoncé :
contre exemple :
1/6+1/12 > 1/5

[invitea87a1dd7]

C'est bon j'ai réussi C'était pas simple, mais c'est faisable. En fait il fallait majorer (p+1) termes à droites un par un par les (p+1) termes à gauche.
Je peux pas l'écire là, c'est trop long. Mais en fait, il fallait bien passer le à gauche, redévelopper en somme de terme de la forme , et en fait ca marche tout seul (on peut même faire une récurrence pour les majorations, étant donné qu'elles sont toutes du même style à 2 exceptions près)

[invitea87a1dd7]

Zinia, j'ai pas trop compris ton contre-exemple... Il n'y a pas seulement 2 termes dans les produits, il y en a k+1 pour le premier terme de la somme, puis k+2, puis k+3, etc...
(Sinon, effectivement, k est strictement plus grand que 1 étant donné le terme de droite dans l'inégalité)

[invite636fa06b]

Bravo, tu as donc démontré un résultat faux !!

Zinia, j'ai pas trop compris ton contre-exemple... Il n'y a pas seulement 2 termes dans les produits, il y en a k+1 pour le premier terme de la somme, puis k+2, puis k+3, etc...
(Sinon, effectivement, k est strictement plus grand que 1 étant donné le terme de droite dans l'inégalité)

Oui mais les k-1 premiers se retrouvent partout, ils n'ont pas d'impact sur l'inégalité
Si tu veux, pose les k-1 premiers tous égaux à 3 et disons que k=3 La transcription de ces données (avec celles de mon message précédent) conduit à 1/54+1/108 =< 1/45 ce qui est faux !

[invitea87a1dd7]

Nan, désolé, je vois pas pourquoi c'est faux. D'ailleurs toute la suite de l'exo marche parfaitement bien (une question peut être fausse, mais l'ensemble des questions... )
Dis moi quelle suite tu poses

[invitea87a1dd7]

J'essaye avec ce que tu as donné, ca donne :
1/27 + 1/81 < 1/18
ce qui est vrai...
J'ai pris q, suite constante égale à 3
J'ai pris p=1 et k=3

[invite636fa06b]

k=3
p=1



et de l'autre coté :



Il faut que qk soit grand pour que ça ne marche plus !

[invitea87a1dd7]

C'est impossible que q4 soit plus petit que q3 ! C'est une suite d'entier naturel croissante (voir énoncé), ce qui rend les choses plus "lisses" en fait

[invite636fa06b]

D'accord, j'avais complètement zappé cette partie de l'énoncé.
Décidément, il est temps que j'aille me coucher

[invitea87a1dd7]

C'est d'ailleurs là dessus que se jouent les majorations dont je parlais. Tout est basé sur le fait que q soit croissante
Bonne nuit

[invite636fa06b]

mais alors, c'était très simple, il suffit de dire que le premier membre de l'inégalité est majoré par la même expression dans laquelle on remplace les pour i allant de 1 à p.
On fait alors apparaître une progression géométrique en 1/qk que l'on somme et on tombe pratiquement sur le second membre de l'inégalité

Bonne nuit à toi aussi