produit scalaire... trouvez l'erreur !!

[invite3e1953b5]

Bonjour à tous !

Voici donc un petit problème face auquel je me trouve et qui va bientôt me couter tous les cheveux de la tête... je vois pas où est l'erreur !!

J'ai donc un produit scalaire, défini sur E x E, E étant un R-espace vectoriel de dimension 3, dont voici la matrice :

1 1 1
1 5 1
1 1 2

Ce qui me donne la forme quadratique:

q(u) = x^2 + 5y^2 + 2z^2 + 2xy + 2xz + 2yz

Je réduis cette forme en combinaison linéaire de carrés (par Gauss ) et je trouve :

q(u) = (x + y + z)^2 + 4y^2 + z^2

Comme je suis consciencieux je vérifie que j'ai bien fait un changement de base. Je trouve donc comme matrice de passage (enfin je crois) :

1 -1 -1
0 1 0
0 0 1

Le déterminant est égal à 1, donc ma matrice est inversible, il s'agissait effectivement d'un changement de base. Je trouve donc que ma matrice est diagonale dans la base :

(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (-1, 0, 1)
(là plus sur du tout.. à confirmer)

Or cette base n'est pas orthogonale pour mon produit scalaire !!!!! Et 1 et 4 ne sont pas valeurs propres de ma matrice de départ !!

Au secours !! Je ne vois vraiment pas où est l'erreur... Merci d'avance !!
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[invite3e1953b5]

Bon je sais pas pourquoi j'ai écrit que 1 et 4 n'étaient pas valeurs propres, elles ne le sont pas mais il n'y a pas de raison qu'elles le soient..

[invite9e95248d]

pourquoi tu veux quelle soit orthogonale ta base ?
quand tu diagonalises une matrice la base d'arrivée n'est pas forcément orthogonale.
Ceci étant l'algèbre linéaire c'est pas mon truc, mais je crois pas te dire de betise

[invite3e1953b5]

il me semble que si puisque la matrice de ma forme quadratique est diagonale dans ma nouvelle base, c'est :

1 0 0
0 4 0
0 0 1

ainsi f(ei,ej)=0 si i différent de j... donc elle devrait être orthogonale il me semble... mais peut-etre que je me trompe

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9e95248d]

la diagonalisation ne se fait pas automatiquement dans une base orthonormale, j'en suis à peut pres certains

[invite69dafe8b]

je crois que tu confond deux méthode de diagonalisation!

1ere méthode : la méthode de completion des carée (comme tu l'as fait), ca te donne une matrice de changement de base P

tq ta forme quadratique q(x) sois congruante a la forme quadratique q'(x') via le changement de variable
x' = Px

donc maintenant tu a q(x) = q'(Px)

comme q(x) = x^tAx
et q'(x') = x'^tDx' = (Px)^tD(Px) = x^tP^tDPx
donc tu trouve que A = P^tDP où D est une matrice diagonale

ta matrice D est dans une base tout a fait quelqu'onque (ni orthogonal, ni normée)
par contre, la loi d'inertie de silvester te garanti, que le nombre d'élément diagonaux positif de D est égal au nombre de valeur propre positive, idem pour les negatif, et pour les nulles!, les deux matrices ont meme déterminant (a confirmé), et meme rang évidement!

2eme méthode, la diagonalisation (via le thm spectrale)
comme ta matrice est symétrique, le thm spectrale ta garanti que ta matrice est diagonale dans une base Orthonormée des valeurs propres, et que les element diagonaux serons els valeurs propres associé a ces vecteurs!

il existe donc un changement de repere Q (constitué des vecteur propre Normée mis en colonne)
tq Q^-1AQ sois diagonale, et constitué des valeurs propres!

voila, j'espere avoir répondu a ta question