Qu'est ce qui ne va pas ?

[invite36dac211]

Bonsoir !
Petit probleme de logique :
on cherche à résoudre x²+x+1=O (E)
(E) <=> x²+x=-1
O n'est pas solution, donc sur R+* et R-*, on a x+1=-1/x
Or on a également (E) <=> x+1=-x²
donc en remplaçant x+1 par -x², on a
x²=1/x
<=> x^3=1
<=> x=1

En remplaçant dans (E), on a 3=0 ...

Je dois dire que je ne vois pas où le raisonnement cloche ...
Il ne me semble pas qu'on divise par 0, puisqu'on peut considérer des intervalles dont 0 ne fait pas partie ...
Alors où est l'erreur ?!

Merci d'avance !
Penangol
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[invite1f748f81]

comment tu trouves x+1=-1/X ?

[invitea3eb043e]

Intéressant calcul.
Tu as dû remarquer que l'équation
x² + x + 1 = 0
avait comme solutions j et j², les racines cubiques complexes de l'unité.
En trafiquant les variables (ton calcul est OK), tu as fait monter le degré de l'équation et tu as introduit une solution parasite x = 1. Equation du second degré : 2 solutions, du 3ème degré : 3 solutions.

[invite88ef51f0]

Salut,
Tu as x²+x+1=0 <=> faux. Donc x²+x+1 n'a pas de racine sur R.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite36dac211]

Dentist : tu divises chaque membre de l'égalité x²+x=1 par x, avec x différend de 0...

Jeanpaul : à quel moment est ce qu'on triche sur le degré du polynome, précisément ? Et comment ?

Coincoin : x²+x+1=0 <=> faux.
Pas compris, qu'est ce qui est faux ?

[invite9c9b9968]

Quand tu écris x²+x+1=0, tu cherches les nombres réels vérifiant cette égalité (si tu remplaces x par un de ces nombres que tu recherches). Or ici aucun réel ne peut convenir (puisque les solutions de l'équations sont complexes) donc l'égalité est fausse pour tout réel, ce que signifie l'équivalence donnée par Coincoin

[Médiat]

Jeanpaul : à quel moment est ce qu'on triche sur le degré du polynome, précisément ? Et comment ?

Là :

en remplaçant x+1 par -x²

[invite35452583]

on cherche à résoudre x²+x+1=O (E)
(E) <=> x²+x=-1
O n'est pas solution, donc sur R+* et R-*, on a x+1=-1/xOr on a également (E) <=> x+1=-x²donc en remplaçant x+1 par -x², on a
x²=1/x<=> x^3=1
<=> x=1

Réécrivons :
1) x solution de x²+x+1=0 si et seulement si x solution de x+1=-1/x (sur tout corps d'ailleurs)
2) x solution de x²+x+1=0 si et seulement si x solution de x+1=-x² (sur tout corps toujours)
Donc x solution de x+1=-x² si et seulement si x solution de x+1=-1/x (OUI P1<=>P2 et P2<=>P3 alors P1<=>P3)
Il est donc équivalent d'être solution de
i) x²+x+1=0
ii) x+1=-1/x
iii) x+1=-x²
En particulier x vérifiant une des trois équations vérifie x²=1/x.
Et en OUBLIANT x+1
i) ii) et iii) sont équivalents à x²=1/x (remplacer<>oublier )
Il a bien été montré que x vérifie (E)=>x²=1/x (c'est vrai : les solutions complexes par exemple j et j² vérifie bien cette équation) mais à aucun endroit la réciproque n'est montrée.*
Ou autrement dit on met plein d'équivalence on introduit subrepticement ou distraitement une implication et on aboutit à une absurdité.
Ou pourquoi, il est toujours dangereux de tenter de résoudre une équation par équivalence.

* ceci est l'explication sur le manque de logique du raisonnement complétant l'explication technique déjà donnée : "oublier" x+1 fait concrètement "monté le degré de 1" et "introduit une solution parasite".

Par contre je ne suis pas d'accord avec Coincoin (une fois n'est pas coutume), l'erreur ne vient pas d'un raisonnement du type x²+x+1=0<=>faux :
il y a bel et bien deux racines complexes à cette équation donc sur C x²+x+1=0 n'équivaut pas à faux. Or, le même raisonnement mené sur C aboutit à la même conclusion : le complexe 1 est solution.

[invite36dac211]

D'accord, je vois l'astuce
Merci beaucoup, une fois n'est pas coutume ici non plus