derivée

[invite6738da40]

bonsoir!

comment deriver une fonction a deux variables en fonction des deux variables en meme temp?
(pas variable partielle)

merci.
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[zoup1]

Si tu veux parler d'une dérivée seconde
alors l'une après l'autre

[invite6738da40]

Si tu veux parler d'une dérivée seconde
alors l'une après l'autre

en fait non. je voulais parler de derivation de la fonction f(x,y) complete ... enfin avec les deux varible. je crois que c'est le produit de ses derivées partielles ou quelque chose comme ça...

[pephy]

bonjour,
il me semble que l'on ne peut pas dériver par rapport aux 2 variables en même temps, mais on peut écrire la différentielle totale de la fonction:

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Il y a au moins deux façons de voir une dérivée :
1) f'(x0) x peut être un n-uplet est le "truc" qui vérifie :
f(x)=f'(x0)(x-x0)+petit/(x-x0) (/ : par rapport)
quel sens donner à ceci
petit par rapport, la notion qui marche bien est l'utilisation de distance
e=petit/(x-x0) si d(0,e)/d(0,x-x0) tend vers 0 quand x tend vers x0.
Maintenant dans cette définition il faut donner un sens au produit f'(x0)(x-x0) à la somme f'(x-x0)(x-x0)+petit (et à x-x0)
La somme on se place au moins dans un groupe et plus habituellement dans un espace vectoriel.
Le produit peut être le produit de matrices
et on retrouve alors la définition donnée par pephy. Celle-ci s'étend à plusieurs variables et à des variables qui peuvent être de nature autre que des nombres.

2) on peut être plus exigeant et demander que :
f'(x0)=lim (f(x)-f(x0)/(x-x0) quand x tend vers x0.
Mais alors cela nécessite en plus de ce qui précède que la division (f(x)-f(x0)/(x-x0) soit définie. Cela suppose un corps pour travailler sans s'engluer dans les difficultés techniques.
Des corps, en dimension finie réelle, il n'y en a pas beaucoup : R, C, H.
R n'a pas besoin d'être vu comme deux variables (je ne sais même pas si c'est possible)
C par contre est hautement intéressant de ce point de vue. Et il existe en effet une définition de dérivée complexe
f(z0)=lim (f(z)-f(z0))/(z-z0) quand z tend vers z0.
Mais elle est très exigeante sur la fonction pour que cela soit définie ce qui implique en contre-partie de nombreuses et très puissantes propriétés de ces fonctions. (Si ça t'intéresse je te renvoie à la littérature sur le sujet difficile de faire un résumé d'un aussi vaste domaine des mathématiques).
Les quaternions (deux variables complexes ou 4 variables réelles) on peut toujours définir en précisant si on dérive à droite ou à gauche (corps non commutatif). Je ne suis pas sûr que cela est débouché sur des résultats intéressants, en fait j'en doute car jamais entendu parler d'études particulières sur ce sujet.
Maintenant on peut faire dans l'exotique : dériver à deux variables rationnelles sur un corps de dimension deux (Q[racine(2)] par exemple), trois (Q[racine cubique de 5]...) ça ne sera jamais que des restrictions à des dérivées réelles ou complexes.
Chez les p-adiques je ne sais pas (Fderwelt pourrait peut être en parler). Idem pour les corps plus grands.