Dérivation en repère mobile.

[Etile]

Bonjour,
J'ai besoin d'un conseil sur l'interprétation physique de la formule de dérivation en repère mobile.
La formule (1) en elle même ne me pose pas de problème, mais les résultats que j'obtiens dans la résolution de certains exercices me laissent perplexe sur ma bonne compréhension de celle-ci.

(1) dA/dt par rapport a R0 = dA/dt par rapport a R + Omega vectoriel A
Ou R0(O, x0, y0, z0) est un repère fixe, R(O', X, Y, Z) un repère bougeant par rapport a R0, A est un vecteur, omega le taux de rotation de R par rapport a R0.

Par exemple, imaginons un repère R0 fixe (O, x0, y0, z0) et un repère R qui est en rotation selon l'axe (O, z0) autour de R0 et d'origine O.
R a donc comme base (O, X, Y, Z=z0).
Soit A un vecteur lié à R, en rotation autour de l'axe (O,X).
La vitesse de A par rapport à R0 exprimé dans la base de R serait donc l'addition des deux rotation. C'est à dire la vitesse de A par rapport a R exprimé dans la base de R additionné a Omega de R par rapport à R0 vectoriel A.

Si l'on essaye de se représenter le mouvement de A par rapport a R0 dans R0, nous obtiendrons donc une rotation autour de (O,Z) avec en plus une rotation autour de (O,x0).
Supposons que l'on veuille exprimer cette vitesse dans la base de R (en utilisant la formule donc). Le "mouvement" de A par rapport à R0 exprimé dans R sera t-il alors identique à celui de A par rapport a R0 exprimé dans R0 ?
Si oui, comment se fait-il que l'on obtienne après calcule, que la vitesse de A par rapport a R0 exprimé dans la base de R soit collinéaire à X (vecteur du référentiel R) ?

Je ne sais pas si je suis bien clair, dîtes moi si vous avez besoin de précision.
Merci.

edit: Petite erreure, sur l'image il faut bien entendu lire A et non X pour le vecteur.
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[Etile]

Personne pour m'aider ?

[Tifoc]

Bonjour,

Je veux bien vous aider mais il va falloir faire un sérieux effort de rigueur !

"...A est un vecteur..." donc A est un vecteur.
"La vitesse de A par rapport à R0 ..." donc A est un point.
"...le mouvement de A ..." donc A est un solide.



"Soit [je ne sais quoi] en rotation autour de l'axe (O,X)." + "comment se fait-il que l'on obtienne que la vitesse de [je ne sais quoi] soit collinéaire à X "... ben c'est le contraire qui serait étonnant !

Cordialement,

[Etile]

Je me suis mal exprimer certe, mais c'était pour "simplifier" le problème.
C'est d'ailleurs pour ça que j'ai mis le terme mouvement entre guillemets.

Si l'on considère qu'un solide S est en rotation autour de l'axe (O,X), sa vitesse ne peut pas être collinéaire à X, c'est tout de même évident non ? Et si en plus, le référentiel dans lequel il est en rotation, est lui même en rotation par rapport à un autre référentiel (d'origine O également) suivant l'axe (O,Z0=Z), la vitesse d'un point A appartenant à S par rapport a R0 (le référentiel fixe) ne devrait pas être collinéaire à X si on l'exprime dans la base de R.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tifoc]

Re-

Si l'on considère qu'un solide S est en rotation autour de l'axe (O,X), sa vitesse ne peut pas être collinéaire à X

Ben... son vecteur vitesse de rotation, si! C'est bien pour ça qu'il faudrait préciser clairement ce qu'est A, et si c'est un point, où il se situe...

[invite3ea95b62]

Soit A un vecteur lié à R, en rotation autour de l'axe (O,X).

Si A est en mouvement dans un référentiel, alors il n'est par définition pas lié à ce référentiel.
en règle générale, je pense, mais c'est un avis de mécanicien plus que de physicien, qu'il faut éviter de parler de points liés à des référentiels. On peut lier un point à un solide, et à ce solide lui associer un repère.
Je te propose donc de poser ton problème avec un formalisme adapté, afin que tu puisses avoir une réponse claire.
Pose ton système, et surtout écris tes vitesses correctement.
Pour donner une vitesse, on donne le point et le solide en mouvement par rapport à un autre.
Par exemple, dans le cas d'une roue de voiture, si A est le point de contact roue sol, on peut écrire pleins de choses fausses si on n'est pas suffisamment précis. En effet :
V(A, roue/sol)
V(A, sol/Rgalileen)
V(A, roue/ rgalileen)
sont dans le cas général différentes, d'où la nécessité de préciser ses dires en termes cinématiques. Merci

[Etile]

Re-



Ben... son vecteur vitesse de rotation, si! C'est bien pour ça qu'il faudrait préciser clairement ce qu'est A, et si c'est un point, où il se situe...

Je te parle de V(A,t)S/R0 exprimé dans R, avec A forcement un point du solide S...
Pour parapluie: Oui, dans mon 1er message je voulais parler d'un vecteur A mais c'était une erreur, il faut prendre A comme un point lié à S, lui même en rotation par rapport a R, qui lui aussi est en rotation par rapport a R0.

[Tifoc]

V(A,t)S/R0 exprimé dans R il a deux composantes sur Y et Z, et sa dérivée aussi. Son produit vectoriel avec omega idem. Au final sa dérivée exprimée dans Ro a deux compsantes sur Y et Z... pas sur X !

[Etile]

C'est bien ce que je disais oui.
Seulement dans un exercice, on retrouve que V(A,t)S/R0 exprimé dans R ne dépend que de X, et je trouve cela très étrange.
Tous les calculs sont bon, et ca me perturbe.

[Tifoc]

Ah ben on va y arriver Alors en effet, si nous parlons bien de la même chose (pas facile en fait la langue franco-physique ) et si les calculs sont justes (?), ça a de quoi perturber !
Peux tu mettre les susdits calculs en image ou autre qu'on voit ça de plus prés ?

[Etile]

L'exercice est donc:
Soit le repère orthonormé direct fixe (R0) = (O; x0, y0, z0).
Soit le repère orthonormé direct (R) = (o; X, Y, Z) mobile par rapport à (R0) de telle sorte que le mouvement de (R) par rapport à (R0) est une rotation uniforme d'axe (O,z0) et de vitesse angulaire w (w different de 0). On note Omega de R/R0 = w z0.
OZ = Oz0
Soit L > 0 et alpha différent de 0 donnés.
Soit A un vecteur tel qu'à l'instant t :
A = L (cos (alpha t) Y + sin (alpha t) Z)

S'en suit de nombreuses questions inintéressantes et uniquement calculatoires.
Voila donc ce qui me gène.
On nous demande de calculer les dérivées de A par rapport à t dans (R0), puis de le projeter dans la base de R, et on note V0 le vecteur ayant ces composantes. On nous demande également de calculer les dérivées de A par rapport à t dans (R) et on note V le vecteur ayant ses composantes.

Puis, on nous demande de trouver la relation entre V0, V, Omega de R/R0 et A.
La relation est donc V0 = V + Omega de R/R0 vectoriel A.
On retrouve donc la formule de dérivation en repère mobile :
(dA/dt)R0 = (dA/dt)R + Omega de R/R0 vectoriel A.

Seulement voila, on trouve que cette dérivée, qui est si je ne me trompe pas la façon dont "bouge" le vecteur A dans le temps par rapport a R0 exprimé dans la base de R est collinéaire à X.

Déjà, je ne comprend pas réellement à quoi correspond la dérivée d'un vecteur par rapport au temps, si ce n'est qu'on dérive toutes ses composantes par rapport au temps. Peut-on dire qu'il dépend d'un référentiel et que suivant qu'on le dérive par rapport à R0 ou R, il y'aura une différence comme pour un point lié à un solide ? Apparement oui d'après la relation, on dérive bien le vecteur par rapport à un référentiel. Bref, j'ai du mal à en saisir le sens physique.

[Etile]

Ah non en fait ca à l'air de marcher apres avoir refait les calculs.

Pour résumer, (dX/dt)R exprimé dans R pourrait être interprêté comme la rotation de X par rapport à R, et par dessus on rajouterait donc la rotation de R par rapport a R0 qui est représenté par Omega de R/R0 vectoriel X, ou ici, on fait comme si X était lié à R ?

Une derniere question.
Lorsque l'on exprime (dX/dt)R0 dans R, est-ce que l'on observe dans R, exactement le "mouvement" qu'aurait X s'il était observé depuis R0, ou est-ce que je me trompe totalement ?

Je pense que c'est ça, mais je me suis embrouillé pour rien alors j'aimerais bien avoir des confirmations, merci.

[Tifoc]

Voir image... si j'arrive à la faire passer

[Tifoc]

on réessaye !

[Etile]

Voila c'est ce que j'ai trouvé aussi apres avoir tout recalculé, ca me rassure merci.