Trouver les coordonnées d'un repère en fonction d'un autre repère

[invitea2430066]

Bonjour/soir à tous,

Je travaille dans l'industrie et je recherche les formules que je suis censé avoir apprises par coeur lors de mes études pour un problème ...

Le problème, ou plutot la question :

Je cherche les coordonnées d'un repère V (Ov, Xv, Yv, Zv) dans mon repère R (Or, Xr, Yr, Zr) connu.
Je connais aussi 3 points dans R et dans V, A(Xa, Ya, Za), B(Xb, Yb, Zb) et C(Xc, Yc, Zc).

Je n'ai pas besoin de toutes les coordonnées du repère V, l'origine Ov, un point sur Xv, et un point sur le plan, XvYv suffisent pour mon application professionelle.

Je ne sais pas si j'ai besoin de tout ces données mais je préfère en avoir trop que pas assez.

Pouvez vous m'aider ?
Merci d'avance
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[invite88ef51f0]

Salut,
Si je te parle de matrice de passage, ça te dit quelque chose ?

[invitea2430066]

ça me rappelle des souvenirs oui mais c'est assez lointain tout ça ...
Je vais chercher un peu sur google pour avoir des cours et surtout les formules.
Je tiens au courant si j'ai besoin

[invitec053041c]

Tu peux exprimer les vecteurs Oi,Oj,Ok en fonction des nouveaux vecteurs de ton nouveau repère O'I,O'J,O'K

Et ton point M se repère par:
OM=x Oi + y Oj + z Ok= ( ...) O'I + (...) O'J + (...)O'K
Donc O'M= ... (tu connais les coordonnées de O' dans l'ancien repère)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea2430066]

Pourquoi les mathématiciens essaient toujours d'embrouiller ceux qui ne s'y connaissent pas trop ...
Je viens de lire des cours et des cours, mais ça parle à chaque fois de bases, des dimensions, d'espaces vectoriels ...

Aucun cours vraiment clair !
Bon donc je reviens ici pour tenter de comprendre.

Dans mes souvenirs les matrices de passages sont utilisées dans une formule genre x=PRP-1 mais je ne suis plus sur.

Pour Ledescat : je n'ai pas de vecteurs, je connais 3 points A, B et C dans mes 2 repères R et V seulement je ne connais pas les coordonnées de mon repère V dans R ... et c'est ce que je cherche pour déterminer des distances.

Si possible exprimez vos idées avec des données cartésiennes ... le reste j'y comprend pas grand chose

[invitea2430066]

Je pense avoir trouver mais je vais quand meme vous demander histoire d'etre sur :
Donc comme je vous l'ai dit plus haut je cherche un point l'origine de mon repère V Ov, un point sur l'axe Xv dans R, un point sur le plan XvYv dans R.

Ov = (

• X_a^R-X_a^V,
• Y_a^R-Y_a^V,
• Z_a^R-Z_a^V )

Mon point sur l'axe Xv, Notons le M (Xm, Ym, Zm)
M = (

• X_a^R,
• Y_a^R-Y_a^V,
• Z_a^R-Z_a^V )

Est ce que ça vous semble correct ?

Mon dernier point, Notons le N (Xn, Yn, Zn)
N = (

• X_a^R,
• Y_a^R,
• Z_a^R-Z_a^V )

[inviteaf1870ed]

Il me semble que tu ne peux pas résoudre ton problème sans ajouter de conditions supplémentaires.
Tu as a priori douze inconnues : les 3 coordonnées de ta nouvelle origine, et les 3 coordonnées de chacun de tes vecteurs.
Or tu n'as que 9 équations qui sont les coordonnées de tes 3 points dans chacun des repères.

[invitea2430066]

Oulah ... tu me fais peur là.
Je connais les coordonnées de mon point A dans le repère R ET dans le repère V c'est donc pas une inconnue mais une constante ...
Ce que je ne connais pas c'est les coordonnées de mon repère V dans le repère R

[invitea2430066]

Je rajoute une image de ce que j'ai expliqué plus haut en espérant que vous comprendrez.
Je connais Or, Xr, Yr, Zr
Je connais Xa, Ya, Za dans R et V
Je connais pas Ov, Xv, Yv, Zv dans R

[inviteaf1870ed]

1-Sur ton dessin Xv,Yv et Zv sont parallèles à Xr,Yr et Zr, est ce le cas ?
2-Est ce que ||Xr||=||Yr||=||Zr||=1 ?

[invitea2430066]

1- Normalement oui ils sont parrallèle.
2- Par contre ||Xr||=||Yr||=||Zr|| mais différent de 1.

Et je n'ai pas precisé mais tout est ortogonal bien entendu

[inviteaf1870ed]

Alors ton problème est simple : la transformation qui passe d'un repère à l'autre est une translation (pour passer de Or à Ov) puis une homothétie qui donne le rapport entre la longueur de Xv(ou Yv ou Zv) et celle de Xr(ou Yr ouZr).
Pour la translation tu as 3 degrés de liberté (les coordonnées de Or) et pour l'homothétie un seul (le rapport de l'homothétie).
Il te faut donc 4 équations pour résoudre ton problème, que tu obtiens avec par exemple A et B dans les deux repères.
Cependant comme tu as ici au total 9 équations, il te faudra vérifier que la solution que tu trouves est valable pour toutes les équations.
Est ce plus clair ?

[invitea2430066]

Oui mis à part que je n'ai pas d'homothétie ...
Mon repère est en dixième de millimètre pour les deux repères ... donc je n'ai de problème de repère.
Donc j'ai bien les bonnes formules.
Je pense pouvoir m'en sortir maintenant ...
Si j'ai un problème je reviendrais

[inviteaf1870ed]

Attention : si tes vecteurs de base n'ont pas la même longueur, tu as une homothétie !

[invitea2430066]

Je reviens car je viens d'apprendre que mon problème se compliquait un peu :'(

Donc je reviens sur tes questions Ericcc :
Xv, Yv, Zv et Xr, Yr, Zr ne sont pas forcément parallèle !
La norme sera la même.

Donc je vais devoir utiliser les matrices de passages mais je ne sais plus comment ça marche, et surtout je ne sais pas comment refaire ça dans mon cas !

J'ai bien lu des cours toute la soirée d'y hier mais ça parle de choses trop complexe pour mon niveau !
(Moi les espaces vectoriel, les collections et les bases canoniques, je m'en sert pas!)

Je n'utilise que des coordonnées cartésienne.

Comment créer la matrice de passage ?
Comment trouver l'origine de mon nouveau repère ?
Comment trouver un point sur ce repère ?

[inviteaf1870ed]

Là ça se complique. Le mieux est que tu essaies d'abord en dimension 2 (dans un plan) et que tu étendes à la dimension 3 ensuite.
Pour la matrice de passage tu peux t'en passer de la façon suivante. Tout d'abord supposons que l'origine des repères est la même.
Soit un vecteur u.
Dans le repère R il s'écrit : u=a x_r+b y_r
si x_r=X x_v+Y y_v
et y_r=X' x_v+Y' y_v

Alors u = (aX+bX') x_v +(bY+bY') y_v
Tu as donc les coordonnées dans les deux repères, et il te reste à résoudre le système pour trouver X,Y,X' et Y' qui sont tes inconnues.

[invitea2430066]

On m'a finalement donné une bonne solution que je poste ici au cas ou d'autre en aurait besoin :

Notons A_R, B_R, C_R, A_V, B_V, C_V les coordonnées de A, B, C dans
les repères R et V. Notons M_R et M_V les coordonnées d'un point M
dans les repères R et V.
Ov correspond au cas où M_V =(0,0,0)
Xv au cas où M_V = (1,0,0)
Yv au cas où M_V = (0,1,0)
Zv au cas où M_V = (0,0,1)


Les formules générales sont :
M_R = Ov_R + P * M_V
où P est la matrice de passage (inconnue) et Ov_R les coordonnées
(inconnues) de Ov dans R. On écrit cette relation pour A, B, C :


A_R = Ov_R + P * A_V
B_R = Ov_R + P * B_V
C_R = Ov_R + P * C_V


On retranche la première aux deux dernières. B_R - A_R sont alors les
composantes dans R du vecteur AB. On obtient :


A_R = Ov_R + P * A_V
AB_R = P * AB_V
AC_R = P * AC_V


On voit que si on peut déterminer P avec les deux dernières équations,
la première donnera Ov_R.
Si les repères sont quelconques, P possède 9 coefficients, et les deux
dernières équations ne fournissent que 6 données (2 équations * 3
composantes par équation). Mais si les repères sont orthonormés
directs, P préserve les angles, les longueurs et l'orientation. Si P
transforme AB_V en AB_R et AC_V en AC_R, alors il transforme aussi
AD_V en AD_R, où AD est le produit vectoriel de AB par AC. Cela nous
donne une troisième équation permettant de déterminer P.


Exemple :
A_R := [-.319, 2.55, 6.73]
B_R := [2.18, 2.05, -1.52]
C_R :=[1.62, -1.01, 2.91]


A_V := [-1.28, 2.48, 5.65]
B_V := [2.35, 1.03, -2.04]
C_V := [.68, -1.59, 2.39]


On calcule les vecteurs AB et AC dans les deux repères :
AB_R := [2.50, -.50, -8.25]
AC_R := [1.94, -3.56, -3.82]


AB_V := [3.63, -1.45, -7.69]
AC_V := [1.96, -4.07, -3.26]


On calcule AD = produit vectoriel de AB par AC dans les deux repères
AD_R := [-27.5, -6.45, -7.93]
AD_V :=[-26.6, -3.3, -12.0]


On résout le système :
AB_R = P*AB_V
AC_R = P*AC_V
AD_R = P*AD_V
ce qui revient à calculer le produit de matrices :
[AB_R AC_R AD_R] * [AB_V AC_V AD_V]^(-1)
On obtient P :
[.984 -.136 .167 ]
[.146 1.00 -.055]
[-.155 .081 .985]
Les trois colonnes donnent Xv, Yv, Zv dans R.


On calcule Ov_R :
A_R - P * A_V = Ov_R
d'où
Ov_R = [.350, .58, .78]

Lavau Gérard

[invite1ec266cb]

Bonjour, j'ai un exercice de math et je ne comprend pas lorsque on me demande de " Tracer la courbe représentative de la fonction B dans un repère pour 0 < x < 7 " comment dois-je faire pour " 0 < x < 7" ????