Votre avis sur mon calcul de fonction d'onde

[Lévesque]

Bonjour,

je suis en train de faire un petit travail, et une des étapes est d'obtenir la densité de probabilité à partir d'une fonction d'onde F=F1+F2, où F1 et F2 sont paquets d'ondes libres.

Je calcule alors la norme au carré de F, et je m'attends à obtenir une gaussienne centrée à l'origine, laquelle diminue en intensité pour se séparer en deux gaussiennes plus petites.

À ma grande surprise, ce n'est pas ce qui se passe. Il y a une oscillation à l'origine qui me fait penser à l'effet d'une pierre lancée dans l'eau. Voyez par vous même.


Soit c'est contre intuifif pour moi parce qu'il y a quelque chose qui m'échappe, soit j'ai fait une erreur de calcul.

Vous avez un avis là dessus?

Merci,

Simon

Edit: j'y pense, c'est surement que j'ai oublié de normaliser...
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[invite4baed56c]

Bonjour,

au vu de l'animation je pense à une opposition ou rotation de phase..

[GillesH38a]

a l'oeil on n'a pas l'impression que la norme (intégrale sous la courbe) reste constante, tu es sur qu'il n'y a pas une erreur de calcul?

[Lévesque]

a l'oeil on n'a pas l'impression que la norme (intégrale sous la courbe) reste constante, tu es sur qu'il n'y a pas une erreur de calcul?

Non! Sinon je n'aurais pas débuté cette discussion... Mais tu as raison, juste après avoir posté, j'ai remarqué que la norme n'avait pas l'air conservé ("edit:...").

J'ai intégré la norme au carré de ma fonction d'onde sur tout l'espace, et j'obtiens effectivement une fonction du temps (si elle était normalisée, je devrait obtenir 1).

Merci d'avoir pris le temps de regarder ça.

Cordialement,

Simon

[A voir en vidéo sur Futura]

[Lévesque]

Bonsoir,

j'ai tout vérifié, normalisé, revérifié.

Voila de quoi a l'air la norme au carré de ma fonction d'onde en fonction du temps, laquelle correspond à la somme de deux paquets d'ondes gaussiens libres qui s'éloignent de l'origine avec chacun la même vitesse mais de signe opposé.

Les paramètres sont
delta0: la largeur initial à la mi-hauteur de chacune des gaussiennes;
m: la masse de l'objet considéré.

Pour un certain detla0 et une masse 200 fois plus grande que la constante de Planck, voici ce que j'obtiens: cliquer pour voir. (On voit clairement de l'interférence entre les deux paquets d'ondes.)

Pour le même delta0 et une masse 30 fois plus grande que la constante de Planck, voici ce que j'obtiens: cliquer pour voir.

Dans le cas particulier où delta0 est 7 fois la constante de Planck et où m est 100 fois Planck, voici ce que j'obtiens: cliquer pour voir. Ce résultat me surprend: après un temps t1, si on fait une mesure de position, la probabilité de trouver la particule au centre est nulle. Si on attends un peu après t1, la probabilité redeviens très grande...

Est-ce que cela correspond à vos intuitions, ou peut-être que quelqu'un a déjà vu ces résultats et pourrait me confirmer que le résultat de mon calcul fait du sens?

Merci,

Simon

[Lévesque]

Damn...

j'intègre numériquement la norme au carré, en différents temps constants, et je passe de 1 à 0.9 à 1 en augmentant les temps...

Il y a un problème...

[Lévesque]

Je dois avour que je travaille très fort pour comprendre ce qui se passe.

Je me demande s'il ne s'agirait pas d'un problème d'integration numérique, peut-être à cause d'une singularité dans la fonction... mais je suis loin de connaître le domaine. J'espère que peut-être quelqu'un aura déjà rencontré le problème qui m'occupe et m'aidera à le solutionner.

Je récapitule avec plus de détail. Je prend deux fonctions d'ondes:



,

avec

,

où j'ai défini . Ces deux fonctions d'ondes sont les solutions de l'équation de Schrödinger pour le paquet d'onde gaussien libre.

Je construis la fonction d'onde totale

.

Je m'intéresse à la norme au carré de cette fonction d'onde. Avec seulement un peu d'algèbre, j'obtiens:

,

soit la fonction d'onde sous la forme , où est sa norme.

Je normalise en intégrant sur x de moins l'infini à plus l'infini. Je trouve:

.

Je redéfini R comme suit:

.

J'obtiens alors une fonction d'onde normalisé, selon ce que je comprends. Maintenant, je donne ce directement à Mathematica et je lui demande d'intégrer sur x de -infini à +infini à différents temps t1=0,t2=0.001,t3=0.002,... Je trace finalement un graphique de R^2 en fonction du temps :

Voici ce que j'obtiens pour m cent fois à 1000 fois plus grand que hbar.

Quelqu'un voit ce qui se passe? Ce sont définitivements mes calculs qui sont faux, ou bien c'est mathematica qui intègre mal?

Merci infiniment,

Simon

[Lévesque]

J'ai trouvé mon erreur...

j'imagine que personne ne suit cette discussion, mais tout de même, ça se termine bien. J'ai revérifié mes calculs 3 fois, jusqu'à ce que je décide de repartir à zéro. Je me suis rendu compte au premier coup d'oeil de l'erreur dans mes fonctions d'ondes de départ:

Je prend deux fonctions d'ondes:



,

Quelqu'un veut essayer? C'est très très simple... Indice: un paquet va vers +x et l'autre vers -x, avec la même vitesse...

Merci à ceux qui ont essayés de m'aider...

Ciao,

Simon