INTEGRALE et utilisation
bonsoir tous le monde voila ma question:
je sais qu'avec une integrale on peut calculer une surface ou volume (de revolution c tout??)
***mais a quoi sert les integrale double et triple???
***avec une integrale simple peut on calculer tous les sortes de volume que l'on veut??
merci de vos reponse
Tu vas vite comprendre.
Tu as dis : "avec une integrale on peut calculer une surface ou volume".
En réalité, tu peut même calculer une longueur en sommant des bout infinitésimaux d'un segment (pas nécessairement droit d'ailleurs)
Quand tu parle de surface : ton calcul prends des éléments infinitésimaux de surfaces et les sommes. mais si tu travaille dans une base tu peux décomposer les sommations suivant 1 l'axe que tu développe (=réitère) suivant l'autre direction.
Ainsi tu intègre suivant les 2 directions : c'est une intégrale double.
Pour un volume elle est triple.
Pour le travail (=énergie) d'un solide en mouvement quadruple car tu intègre le temps en +
Pour bien comprendre l'intégration double d'une surface.
Prends un carré.
La première intégration est verticale. Tu obtiens des segments ou plutot des bandes de largeur infinitésimale)
La seconde horizontale décline ces bandes suivant la largeur.
Pour une forme plus complexe, les bornes des intégrales sont indescriptible proprement en x,y,z... on note donc avec une intégrale simple sur un domaine W de dimension n le résultats de n intégrale de dimension 1 qui sont les unes dans les autres.
avec les intégrales indéfinies simples on peut résoudre des équations différentielles
Bonjour,
deux toutes petites remarques :1) le calcul du volume d'un solide de révolutionest une fausse intégrale simple qui masque le passage en polaires
2)l'intégrale de Lebesgue évite ce genre de discussions (intégrale double,triple,etc...)
tous d'abord merci de vos explication voici quelque petites precisions que je voudrais s'il vous plait:Envoyé par Pepsilone
1) qu'appelé vous passer en polaire (pour calculer 1volume avec une integral simple)??
2) lors d'une integrale double par exemple on calcule la premiere integrale avec certaines bornes et apres on prend le resultat de la premiere et et on calcul une autre integrale avec des bornes differentes.
sinon merci de vos reponses elles étaient tres clair
Pour le 2) et les intégralles doubles :
le bornes de ta première intégrales disons sur x peuvent être paramétrées par y ta variable de la seconde intégration. Le calcul est alors couplé.
Dans le cas contraire tu dois pouvoir découpler le tout en 2 intégrales simples.
a ok d'accord merci
Bonjour,
alors pour répondre a la question 1) "le passage en polaires"(ou plutot en coordonnées polaires) désigne un changement de variable classique (x=rcosa,y=rsina) (polaire vient du rapport immédiat avec la géométrie du cercle x=rcosa y=rsina étant un paramétrage du cercle)ce changement de variable permet de ramener le calcul d'un volume engendré par révolution à un calcul à intégrale simple (une des intégrations est en fait déjà effectuée dans tes formules).
Ensuite sur le principe général de calcul tu as raison mais de nombreux pièges sont dissimulés par cette idée :
il est possible d'arriver à différentes valeurs en calculant une même intégrale double en fonction de l'ordre dans lequel on effectue les intégrations
Pour dépasser cette difficultée et avoir un "bon" théorème pour les intégrales multiples (i.e un résultat qui permette les calculs pour une large classe de fonctions, théorème de Fubini) il faut en fait dépasser la construction de Riemann de l'intégrale et passer à la théorie de la mesure.Mais ca n'a pas empéché de nombreuses intégrales multiples d'être calculées bien avant avec ce seul principe d'une intégration puis l'autre.
Bonne soirée/journée
super explications merci!!
