MQ, ECOC et états degenerés

[Thwarn]

Bonjour,

J'ai un probleme avec les ECOC et les états dégénérés.
Je sais qu'un ECOC est un ensemble d'observable que l'on peut diagonaliser dans une meme base. Dans les exercice que l'on nous propose, j'ai souvent l'impression qu'on est obligé d'utiliser un ECOC pour cerner totalement les états d'un systeme et cela ne me parrait pas obligatoire...
En gros, ma question est: est-il impossible de resoudre un probleme sans utiliser un ECOC ou est-ce que c'est juste pour nous simplifier la vie?

Par exemple, dans le cas de l'atome d'hydrogene, on utilise la symetrie par rotation pour diagonaliser L² et Lz, ce qui nous donne les composantes angulaires des orbitales puis on resoud la partie radiale grace au hamiltonien. Peut-on resoudre le probleme sans utiliser le moment cinétique (meme si c'est beaucoup plus dur) ou pas, car ce n'est pas tres clair dans mon cours...

Merci,
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[Meumeul]

resoudre le probleme, c'est trouver toutes les variables, donc trouver un ECOC. Maintenant, il est peut etre possible d'en trouver un autre, mais ca doit pas etre evident.

[Etile]

Je remonte ce thread car j'aurais une question assez importante.
Est-ce qu'un ECOC doit forcement comprendre des observables qui ont des valeurs propres non dégénérées ?
Je vois également que Thwarn dit que les observables d'un même ECOC peuvent être diagonalisées dans la même base. Les vecteurs propre des observables d'un même ECOC sont donc tous identique ?

Merci d'avance pour votre future aide.

[invite395fb64a]

Est-ce qu'un ECOC doit forcement comprendre des observables qui ont des valeurs propres non dégénérées ?
Non je ne crois pas. Il me semble que dans le cas de l'atome d'hydrogène, il y a des dégénérescences dans les niveaux d'énergie associés à certaines orbitales (c'est loin tout ça, quelqu'un pourrait confirmer).
Les vecteurs propre des observables d'un même ECOC sont donc tous identique ?
absolument pas! pour un état donné, tu as par exemple une énergie et une moment cinétique, ce sont deux grandeurs différentes...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Etile]

Je me suis très mal exprimé. En fait, je voulais demander si les observables d'un même ECOC étaient forcement diagonale dans la meme base de vecteurs propre ?

[gatsu]

Je me suis très mal exprimé. En fait, je voulais demander si les observables d'un même ECOC étaient forcement diagonale dans la meme base de vecteurs propre ?

Ben non parce que si tu prends l'opérateur L² par exemple il n'est pas diagonal dans la base
|n,l,m,s> pour l'atome d'hydrogène (sans structure fine ni hyperfine) par exemple.
Ou alorts je n'ai pas compris la question?

[Meumeul]

Je me suis très mal exprimé. En fait, je voulais demander si les observables d'un même ECOC étaient forcement diagonale dans la meme base de vecteurs propre ?

c'est pas force. Par contre, tu es sur qu'il existe une base telle que chacun de ses vecteur soit vecteur propre de tous les operateurs de l'ECOC et donc tous ces operateurs sont effectivement diagonnaux dans cette meme base.

[gatsu]

Ben non parce que si tu prends l'opérateur L² par exemple il n'est pas diagonal dans la base
|n,l,m,s> pour l'atome d'hydrogène (sans structure fine ni hyperfine) par exemple.
Ou alorts je n'ai pas compris la question?

au temps pour moi j'ai dit une grosse betise...mais où avais je la tete ?

[Etile]

Je vais encore solliciter votre aide étant donné que je n'arrive pas à savoir si deux opérateurs forment un ECOC.

Soit A et B, deux opérateurs représentés dans la base tel que

et

A est une observable qui commute avec B.

On me demande de déterminer les valeurs propres de B sans diagonaliser une matrice 4*4.
Le seul moyen que j'ai trouvé est de multiplier B par lui même afin de le diagonaliser facilement. Résultat, j'obtiens un nouvel opérateur tel que :


Donc, les valeurs propre de B sont telles que .
Le problème c'est que je ne sais pas si les valeurs propre de B sont réelles, positives ou négatives, voir complexes.

Ensuite, on me demande si A et B constituent un E.C.O.C., ce qui sous entends que B est forcement une observable, donc à valeurs propre réelles, mais comment le prouver ?

Merci bien.

[yahou]

C'est bizarre, ta base a 6 vecteurs, et tu écris des matrices 4x4. Par ailleurs il doit être précisé quelque part que b est réel, sinon ça ne marche pas.

Pour prouver que les valeurs propres sont réelles (et par la même occasion la base propre orthogonale), il suffit de remarquer que tes matrices sont hermitiques ( où * est le conjugué complexe).

Ou directement .

[gatsu]

Je vais encore solliciter votre aide étant donné que je n'arrive pas à savoir si deux opérateurs forment un ECOC.

Soit A et B, deux opérateurs représentés dans la base tel que

et

A est une observable qui commute avec B.

On me demande de déterminer les valeurs propres de B sans diagonaliser une matrice 4*4.
Le seul moyen que j'ai trouvé est de multiplier B par lui même afin de le diagonaliser facilement. Résultat, j'obtiens un nouvel opérateur tel que :


Donc, les valeurs propre de B sont telles que .
Le problème c'est que je ne sais pas si les valeurs propre de B sont réelles, positives ou négatives, voir complexes.

Ensuite, on me demande si A et B constituent un E.C.O.C., ce qui sous entends que B est forcement une observable, donc à valeurs propre réelles, mais comment le prouver ?

Merci bien.

Il suffit juste de montrer que B est hermitique non (tu fais le complexe conjugué de la transposée de B) ?

[Etile]

Yahou: J'ai mis des inégalités stricte ne sachant pas faire des inégalités large en latex.

gatsu: Ah oui, je n'y avais pas pensé merci. Par contre, comment est-ce que je peux savoir si les valeurs propres associées à leur vecteur propre respectifs sont positives ou négatives ? Apparement dans ce cas là, il m'est impossible de le savoir non ?

[Karibou Blanc]

Apparement dans ce cas là, il m'est impossible de le savoir non ?

Ta méthode "rusée" ne te permet pas de déterminer le signe de tes valeurs propres (puisqu'en fait tu as diagonaliser B^2). Par contre, la procédure classique de diagonalisation, ie la résolution du polynome caractéristique de B P(L)=det(B-L.Id) te fournira les valeurs propres avec leur signe.