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exercice de mécanique



  1. #1
    loo88

    Exclamation exercice de mécanique


    ------

    Bonsoir,

    J'ai un exercice que notre professeur nous a donné en TD qui n'a pas été corrigé. J'aimerais bien que quelqu'un me donne une correction (même succinte) histoire que je puisse réviser cet exercice pour le DS.

    Voici l'énoncé :
    "Une fronde est constituée par une masse m reliée à un point fixe O par l'intermédiaire d'un fil de l'ongueur l et de masse négligeable (on note T la tension du fil). Apartir de sa position d'équilibre, on lance une masse m avec une vitesse initiale vo horizontale. On va étudier la nature du mouvement en fonction de v0.

    1- Justifier le choix des coordonnées polaires pour étudier ce problème. Faire le bilan des forces et donner leurs expressions en coordonnées polaires.

    2- Exprimer l'accélératio, en coordonnées polaires.

    3-En projettant sur Ur et Uthêta le principe fondamental de la dynamique, donner les équations différentielles du mouvement valables tant que le fil restE tendu.

    4- Donner d'une manière générale la primitive de xdx.

    5-Après avoir multiplié l'équation différentielle ne contenent pas T par thêta point, et en vous servant du résultat de la question précédente, intégrer cette équation. En déduire l'expression de T en fonction de thêta.

    6-Le fil reste tendu tant que la postion du fil reste positive. En déduire une première condition sur v0² pour que le fil reste tendu sur un tour complet.

    7-En exprimant que (thêta point)² doit être positif pour que l'on fasse un tour complet, en déduire une deuxième condition sur v0².

    8-Dans le cas où les conditions trouvées en 6 et 7 ne sont pas satisfaites, donner les valeurs maximales de l'angle.

    9-Il faut trouver la condition qui ne sera pas vérifiée la première. Donner l'expression de la vitesse quand T devient nulle et lorque (thêta point)² devient nul. Discuter. En déduire suivant le valeur de v0² les mouvements de la masse m."

    Pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?
    Merci d'avance

    -----

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  3. #2
    Sigmar

    Re : exercice de mécanique

    Pourquoi tu proposerait pas une solution et on regarde où sont les erreurs ?
    Et si jamais tu bloques à un moment, demande nous des infos, mais je me vois mal tout faire comme ça, et perdre une heure.
    "I have to understand the world, you see." (Richard P. Feynman)

  4. #3
    loo88

    Re : exercice de mécanique

    Bonjour,

    J'ai des réponses à cet exercices mais ce sont les miennes et je ne suis pas sûr que ce soit bon.

    1-On choisit des coordonnées polaires car le mouvement décrit par la fronde est circulaire. Les forces appliquées sont le poids et la tension du fil
    Selon Ur : P = -mg sin thêta et T= -T
    Selon Uthêta : P = -mg cos thêta et T=0

    2- On a V= d(lUr)/dt d'où a= l(thêta point point) U(thêta) - l(thêta point)² Ur

    3- En projettant on a
    sur Ur : -mg sin thêta -T = -ml(thêta point carré) Ur
    sut U thêta : -mg cos thêta = ml(thêta point point)

    4- la primitive de xdx est 1/2x²

    Le reste je n'ai pas réussi à faire

  5. #4
    Sigmar

    Re : exercice de mécanique

    Fais ce qu'on te demande, multiplie ton équation différentielle issue de la projection sur Uthêta par thêta point.
    Ensuite tu peux intégrer sans problème en sachant que
    theta point * theta point point = 1/2 * d(thêta point ²)/dt
    "I have to understand the world, you see." (Richard P. Feynman)

  6. #5
    loo88

    Re : exercice de mécanique

    Ce que j'ai fais avant est bon ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    loo88

    Re : exercice de mécanique

    En intégrant, je trouve mgsin(thêta) = (mld(thêta point)²)/dt

    Après il faut exprimer T en fonction de thêta. Il faut trouver une analogie de ce que l'on vient de trouver avec l'équation différentielle sur Ur ?

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  10. #7
    Sigmar

    Re : exercice de mécanique

    J'ai rien dit huhu.
    Ca m'a l'air juste pour le moment.
    Tu es sûr d'avoir intégré à droite ?
    Dernière modification par Sigmar ; 06/02/2007 à 18h20.
    "I have to understand the world, you see." (Richard P. Feynman)

  11. #8
    Sigmar

    Re : exercice de mécanique

    Je crois que tu as oublié le demi à droite aussi
    "I have to understand the world, you see." (Richard P. Feynman)

  12. #9
    loo88

    Re : exercice de mécanique

    oui désolé
    Je l'ai marqué sur ma feuille mais je l'ai oublié en recopiant

  13. #10
    loo88

    Re : exercice de mécanique

    et ensuite on fait comment pour la suite de la question ?

  14. #11
    Sigmar

    Re : exercice de mécanique

    Ensuite faut remplacer ce que tu connais dans l'équation du dessus, et ça devrait se simplifier pour obtenir la réponse demandée.
    "I have to understand the world, you see." (Richard P. Feynman)

  15. #12
    loo88

    Re : exercice de mécanique

    on peut remplacer mg sin thêta par mld(thêta point²) sur 2dt
    et on aurait selon Ur ml SUR 2 *(d(thêta point²) sur dt - (thêta point²))

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  17. #13
    Sigmar

    Re : exercice de mécanique

    Il te faut intégrer des deux côtés !
    Je récapitule :
    -m*g*thêta point*cos(thêta) = m*l*thêta point*thêta point point
    <=>
    -m*g*thêta point*cos(thêta) = 1/2*m*l*d(theta point²)/dt
    en intégrant =>
    -m*g*sin(thêta)=1/2*m*l*theta point²

    maintenant tu remplaces theta point² dans la première équation, et si tu n'as pas fait d'erreurs de calculs ça devrait rouler.
    "I have to understand the world, you see." (Richard P. Feynman)

  18. #14
    loo88

    Re : exercice de mécanique

    Je trouve T= 3mg sin thêta

  19. #15
    Sigmar

    Re : exercice de mécanique

    Non j'ai rien dit, mais ce résultat me semble étonant.
    Dernière modification par Sigmar ; 06/02/2007 à 19h56.
    "I have to understand the world, you see." (Richard P. Feynman)

  20. #16
    Sigmar

    Re : exercice de mécanique

    J'ai vérifié les équations de base (projetées) et elles semblent justes. Je vérifie la suite.
    Ce qui me trouble, c'est que l'on ne prend pas en compte v0 pour le moment... à mon avis elle vient de là l'erreur.
    "I have to understand the world, you see." (Richard P. Feynman)

  21. #17
    loo88

    Re : exercice de mécanique

    L'énoncé parle de Vo à la question 6

  22. #18
    Sigmar

    Re : exercice de mécanique

    J'ai trouvé l'erreur. Elle vient de la primitive, que l'on a pris à condition initiale nulle, alors qu'au départ thêta point est égal à v0/r.
    A toi de corriger... Si t'as un problème demande moi, j'ai fait l'exo.
    "I have to understand the world, you see." (Richard P. Feynman)

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  24. #19
    loo88

    Re : exercice de mécanique

    donc en fait la primitive que l'on doit considérer est 1/2 d(thêta point²)/dt + Vo/l

  25. #20
    Sigmar

    Re : exercice de mécanique

    Je te fais ça proprement et je posterais après.
    "I have to understand the world, you see." (Richard P. Feynman)

  26. #21
    loo88

    Re : exercice de mécanique

    d'accord merci

  27. #22
    Sigmar

    Re : exercice de mécanique

    Je comprends pas trop le "tant que la position du fil reste positive". Pour moi ça veut rien dire :/
    De plus, (theta point)² positif ou nul, c'est toujours vrai (c'est un carré et theat point n'est jamais nul, sinon pas de vitesse angulaire et la fronde ne tourne pas :/).
    Dernière modification par Sigmar ; 06/02/2007 à 22h03.
    "I have to understand the world, you see." (Richard P. Feynman)

  28. #23
    loo88

    Re : exercice de mécanique

    désolé c'est pas la position du fil qui reste positive mais la tension du fil

  29. #24
    Sigmar

    Re : exercice de mécanique

    Ok j'avance petit à petit. Je suis presque à la fin.
    "I have to understand the world, you see." (Richard P. Feynman)

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  31. #25
    Sigmar

    Re : exercice de mécanique

    Une fronde est constituée par une masse m reliée à un point fixe O par l'intermédiaire d'un fil de l'ongueur l et de masse négligeable (on note T la tension du fil). Apartir de sa position d'équilibre, on lance une masse m avec une vitesse initiale vo horizontale. On va étudier la nature du mouvement en fonction de v0.

    1- Justifier le choix des coordonnées polaires pour étudier ce problème. Faire le bilan des forces et donner leurs expressions en coordonnées polaires.

    >>> objet en rotation par rapport à un point fixe
    >>> bilan des forces :

    sur Ur : -m*g*sin(theta) - T
    sur Utheta : -m*g*cos(theta)

    2- Exprimer l'accélération, en coordonnées polaires.

    sur Ur : -m*l*(theta point)²
    sur Utheta : m*l*(theta point point)

    3-En projettant sur Ur et Uthêta le principe fondamental de la dynamique, donner les équations différentielles du mouvement valables tant que le fil restE tendu.

    sur Ur : -m*g*sin(theta) - T = -m*l*(theta point)²
    sur Utheta : -m*g*cos(theta) = m*l*(theta point point)

    4- Donner d'une manière générale la primitive de xdx.

    primitive de xdx = x²/2 + constante

    5-Après avoir multiplié l'équation différentielle ne contenent pas T par thêta point, et en vous servant du résultat de la question précédente, intégrer cette équation. En déduire l'expression de T en fonction de thêta.

    -m*g*(theta point)*cos(theta) = m*l*(theta point point)*(theta point)

    en sachant que *(theta point point)*(theta point) = 1/2*d(theta point)²/dt

    alors :

    -m*g*(theta point)*cos(theta) = 1/2*m*l*d(theta point)²/dt

    en intégrant entre t=t et t=0 :

    -m*g*sin(theta) = 1/2*m*l*(theta point)²-1/2*m*l*d(theta point à t=0)²

    or à t=0, v0=(l*theta point0) =>
    (theta point0) = v0/l

    -m*g*sin(theta) = 1/2*m*l*(theta point)²-1/2*m*l*(v0/l)²
    Ceci est la première relation.

    En réinjéctant ça et en éliminant les (theta point)² de la deuxième projection on trouve :

    T=-3*m*g*sin(theta)+m*v0²/l
    Ceci est la deuxième relation

    6-Le fil reste tendu tant que la tension du fil reste positive. En déduire une première condition sur v0² pour que le fil reste tendu sur un tour complet.

    à partir de la deuxième relation :

    T=-3*m*g*sin(theta)+m*v0²/l >0
    <=> =-3*m*g*sin(theta)+m*v0²/l >0
    <=> v0² > 3*l*g*sin(theta)

    7-En exprimant que (thêta point)² doit être positif pour que l'on fasse un tour complet, en déduire une deuxième condition sur v0².

    à partir de la première relation :
    -m*g*sin(theta) = 1/2*m*l*(theta point)²-1/2*m*l*(v0/l)²
    <=> -m*g*sin(theta) + 1/2*m*l*(v0/l)²
    = 1/2*m*l*(theta point)² > 0
    <=> -m*g*sin(theta) + 1/2*m*l*(v0/l)² > 0
    <=> v0² > 2*g*l*sin(theta)

    8-Dans le cas où les conditions trouvées en 6 et 7 ne sont pas satisfaites, donner les valeurs maximales de l'angle.

    valeur maximale des angles, c'est à dire quand les deux inégalités sont transformées en égalités :

    theta = Arcsin(v0²/(3*l*g))
    et
    theta = Arcsin(v0²/(2*l*g))

    9-Il faut trouver la condition qui ne sera pas vérifiée la première. Donner l'expression de la vitesse quand T devient nulle et lorque (thêta point)² devient nul. Discuter. En déduire suivant le valeur de v0² les mouvements de la masse m.

    quand T devient nul :
    v0=racine(3*l*g*sin(theta))
    quand (theta point)² devient nul :
    v0=racine(2*l*g*sin(theta))

    Je te laisse faire la discussion.

    Il se peut qu'il y ait des erreurs (des grosses même), mais ça me parait juste.
    Je me corrigerais dans les posts d'après si jamais j'en vois.
    "I have to understand the world, you see." (Richard P. Feynman)

  32. #26
    loo88

    Re : exercice de mécanique

    Je te remercie beaucoup Sigmar pour l'aide et pour le temps que tu m'as apporter.

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