Métrique bi-invariante

[invitef591ed4b]

Bonjour,

J'ai besoin de la définition de la bi-invariance d'une métrique définie sur un groupe de Lie ... Ne voulant pas déranger mon prof juste pour cette question, j'ai tenté de la deviner :

Soit un groupe de Lie et une métrique sur . On dit que est bi-invariant si et :

Est-ce que c'est correct ?



PS : est en fait un sous-espace de (c'est ), donc a du sens.
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[invite7ce6aa19]

Bonjour,

J'ai besoin de la définition de la bi-invariance d'une métrique définie sur un groupe de Lie ... Ne voulant pas déranger mon prof juste pour cette question, j'ai tenté de la deviner :

Soit un groupe de Lie et une métrique sur . On dit que est bi-invariant si et :

Est-ce que c'est correct ?



PS : est en fait un sous-espace de (c'est ), donc a du sens.

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Bonjour,

C'est quoi

[invitea29d1598]

bonjour,

Est-ce que c'est correct ?

bi-invariante, c'est invariante par la multiplication a droite et par celle a gauche donc ca me semble ca.

C'est quoi

l'espace tangent a l'origine (donc l'algebre de Lie collee sur l'element neutre du groupe)

[invitef591ed4b]

Merci

J'ai encore une autre question de définition, toujours dans le cadre d'un groupe de Lie G : qu'est-ce qu'un champ de vecteurs invariant à gauche engendré par un vecteur tangent X (de T_eG) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteca4b3353]

Salut,

Tu devrais trouver toutes ces réponses de définitions dans le cours de Thierry Masson sur la géométrie différentielle. tu trouveras le lien dans la bibliothèque virtuelle du forum

[invitef591ed4b]

Le lien dans la bibliothèque semble mort, mais oh surprise, je possédais déjà ce cours de Thierry Masson dans un dossier discret de mon PC Effectivement, y a les définitions bien comme il faut dedans, merci !

[invite7ce6aa19]

Merci

J'ai encore une autre question de définition, toujours dans le cadre d'un groupe de Lie G : qu'est-ce qu'un champ de vecteurs invariant à gauche engendré par un vecteur tangent X (de T_eG) ?

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Classiquement

La notion de multiplication à gauche et à droite d'un vecteur par un élément d'un corps K me semble nécessaire lorsque le corps K n'est pas commutatif (comme les quaternions). On parle d'espace vectoriel à gauche et à droite.
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Dans ton cas c'est un élement d'un groupe (representé par une matrice) qui est bien un corps non commutatif.
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le produit scalaire de 2 vecteurs de l'algèbre de Lie doit être invariant sous les transformations du groupe et on peut donc s'attendre a trouver logiquement une métrique à gauche et une métrique à droite qui ne soient pas égale.
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Il faut démonter que ces deux métriques sont égales.

[invite69d38f86]

Merci

J'ai encore une autre question de définition, toujours dans le cadre d'un groupe de Lie G : qu'est-ce qu'un champ de vecteurs invariant à gauche engendré par un vecteur tangent X (de T_eG) ?

Bonjour,

Par la multiplication à gauche on peut associer à tout element a de G une application f de G dans G:
x-> y = ax
on a l'application associée pour les vecteurs tangents
f' envoie Tx dans Ty
comme f envoie l'element neutre e sur a,ceci définit l'app de Te dans Ta
f' envoie X de Te sur un vecteur f'(X) de Ta
On a ainsi en tout g un vecteur tangent
l'ensemble de ces vecteurs forme le champ recherché.
On montre qu'il est invariant à gauche.

pour les recherches de définitions on peut conseiller wikipedia