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Métrique bi-invariante



  1. #1
    Sephi

    Métrique bi-invariante


    ------

    Bonjour,

    J'ai besoin de la définition de la bi-invariance d'une métrique définie sur un groupe de Lie ... Ne voulant pas déranger mon prof juste pour cette question, j'ai tenté de la deviner :

    Soit un groupe de Lie et une métrique sur . On dit que est bi-invariant si et :


    Est-ce que c'est correct ?



    PS : est en fait un sous-espace de (c'est ), donc a du sens.

    -----

  2. #2
    mariposa

    Re : Métrique bi-invariante

    Citation Envoyé par Sephi Voir le message
    Bonjour,

    J'ai besoin de la définition de la bi-invariance d'une métrique définie sur un groupe de Lie ... Ne voulant pas déranger mon prof juste pour cette question, j'ai tenté de la deviner :

    Soit un groupe de Lie et une métrique sur . On dit que est bi-invariant si et :


    Est-ce que c'est correct ?



    PS : est en fait un sous-espace de (c'est ), donc a du sens.
    .
    Bonjour,

    C'est quoi


  3. #3
    Rincevent

    Re : Métrique bi-invariante

    bonjour,

    Citation Envoyé par Sephi Voir le message
    Est-ce que c'est correct ?
    bi-invariante, c'est invariante par la multiplication a droite et par celle a gauche donc ca me semble ca.


    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    C'est quoi

    l'espace tangent a l'origine (donc l'algebre de Lie collee sur l'element neutre du groupe)
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  4. #4
    Sephi

    Re : Métrique bi-invariante

    Merci

    J'ai encore une autre question de définition, toujours dans le cadre d'un groupe de Lie G : qu'est-ce qu'un champ de vecteurs invariant à gauche engendré par un vecteur tangent X (de TeG) ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Karibou Blanc

    Re : Métrique bi-invariante

    Salut,

    Tu devrais trouver toutes ces réponses de définitions dans le cours de Thierry Masson sur la géométrie différentielle. tu trouveras le lien dans la bibliothèque virtuelle du forum
    Well, life is tough and then you graduate !

  7. #6
    Sephi

    Re : Métrique bi-invariante

    Le lien dans la bibliothèque semble mort, mais oh surprise, je possédais déjà ce cours de Thierry Masson dans un dossier discret de mon PC Effectivement, y a les définitions bien comme il faut dedans, merci !

  8. #7
    mariposa

    Re : Métrique bi-invariante

    Citation Envoyé par Sephi Voir le message
    Merci

    J'ai encore une autre question de définition, toujours dans le cadre d'un groupe de Lie G : qu'est-ce qu'un champ de vecteurs invariant à gauche engendré par un vecteur tangent X (de TeG) ?
    .
    Classiquement

    La notion de multiplication à gauche et à droite d'un vecteur par un élément d'un corps K me semble nécessaire lorsque le corps K n'est pas commutatif (comme les quaternions). On parle d'espace vectoriel à gauche et à droite.
    .
    Dans ton cas c'est un élement d'un groupe (representé par une matrice) qui est bien un corps non commutatif.
    .
    le produit scalaire de 2 vecteurs de l'algèbre de Lie doit être invariant sous les transformations du groupe et on peut donc s'attendre a trouver logiquement une métrique à gauche et une métrique à droite qui ne soient pas égale.
    .
    Il faut démonter que ces deux métriques sont égales.

  9. #8
    invite54165721

    Re : Métrique bi-invariante

    Citation Envoyé par Sephi Voir le message
    Merci

    J'ai encore une autre question de définition, toujours dans le cadre d'un groupe de Lie G : qu'est-ce qu'un champ de vecteurs invariant à gauche engendré par un vecteur tangent X (de TeG) ?

    Bonjour,

    Par la multiplication à gauche on peut associer à tout element a de G une application f de G dans G:
    x-> y = ax
    on a l'application associée pour les vecteurs tangents
    f' envoie Tx dans Ty
    comme f envoie l'element neutre e sur a,ceci définit l'app de Te dans Ta
    f' envoie X de Te sur un vecteur f'(X) de Ta
    On a ainsi en tout g un vecteur tangent
    l'ensemble de ces vecteurs forme le champ recherché.
    On montre qu'il est invariant à gauche.

    pour les recherches de définitions on peut conseiller wikipedia

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