Théorie BCS et Couplage electron/phonon

[invite2c6da301]

Salut,

dans le cadre de la théorie BCS l'interaction effective attractive entre les électrons est médiée par les phonons :

un électron de vecteur d'onde k émet un phonon d'impulsion q : ce phonon se ballade, et un 2ème électron absorbe ce phonon : pourquoi est-ce que ce phonon ne peut être absorbé que par un 2eme électron de moment et de spin opposé au premier ?

en gros, pkoi le couplage effectif n'est efficace que pour des électrons de moment et de spin opposé ?

j'aimerais bien une réponse complète si quelqu'un peut le faire : à la fois formelle (via hamiltonien de couplage), et "avec les mains" pour comprendre cela...

merci d'avance si quelqu'un peut m'aider !
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[mariposa]

Salut,

dans le cadre de la théorie BCS l'interaction effective attractive entre les électrons est médiée par les phonons :

un électron de vecteur d'onde k émet un phonon d'impulsion q : ce phonon se ballade, et un 2ème électron absorbe ce phonon : pourquoi est-ce que ce phonon ne peut être absorbé que par un 2eme électron de moment et de spin opposé au premier ?

en gros, pkoi le couplage effectif n'est efficace que pour des électrons de moment et de spin opposé ?

j'aimerais bien une réponse complète si quelqu'un peut le faire : à la fois formelle (via hamiltonien de couplage), et "avec les mains" pour comprendre cela...

merci d'avance si quelqu'un peut m'aider !

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Dans le couplage électron-phonon tes éléments de matrice non nuls sont ceux qui conservent l'impulsion totale, donc

k1 + k2 donne (k1 + q) + (k2 -q)

Les electrons de vecteurs d'onde k1 et k2 ont échangés un phonon "virtuel" d'impulsion q. donc il n'est pas nécessaire à priori d'avoir les même k pour les électrons.
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Maintenant les électrons d'impulsions opposés doivent être favorisés certainement pour une question d'énergie ou de densité d'état à 2 particules pour former l'état cohérent (il faudrait que je revoie la théorie BCS).

Pour le spin on doit avoir 2 sortes de supra avec S=0 et S=1. Je crois que cela a déjà été observé. Néanmoins il doit y avoir des raisons pour lesquelles la supra S=0 est favorisée dans BCS.

[invite2c6da301]

je pense qu'il faudrait que j'ouvre un bouquin de supraconductivité un de ces 4...

en fait, je suis plus interessé par la question sur les impulsions :

ce n'est pas évident de voir que le couplage effectif est bien plus effiace pour des electrons de vecteur d'onde opposé. l'hamiltonien de couplage me donnera une réponse mathématique, est-ce qu'il existe une image correcte de cela ? Je ne sais pas...

pour les spins, c'est l'état singulet qui est favorisé, pour une raison que j'ignore aussi...

à noter qu'on a trouvé des composés montrant à la fois une phase ferromagnétique et une phase supra (mais pas en même temps bien sur) : donc avec un appariement de type triplet plutot (cf article dans nature de 2006 je pense)

de manière générale, il est bien clair que supraconductivité et magnétisme ne font pas bon ménage...

[mariposa]

je pense qu'il faudrait que j'ouvre un bouquin de supraconductivité un de ces 4...

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C'est la meilleure solution. La supraconductivité est étranger à l'intuition.

en fait, je suis plus interessé par la question sur les impulsions :

ce n'est pas évident de voir que le couplage effectif est bien plus effiace pour des electrons de vecteur d'onde opposé. l'hamiltonien de couplage me donnera une réponse mathématique, est-ce qu'il existe une image correcte de cela ? Je ne sais pas...

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Le plus important n'est pas de coupler des paires d'électrons d'impulsions opposées mais de coupler des électrons dont la différence d'impulsion |k1-k2|= q correspond à une densité d'état élevée dans l'espace des q. Ceci à constante de couplage indépendante de k et q. Maintenant si tu tiends compte que la constante que la constante de couplage dépend de k et de q alors il n'y aucune raison que les paires de k opposées soient favorisées.

pour les spins, c'est l'état singulet qui est favorisé, pour une raison que j'ignore aussi...

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Le principe de la supra BCS vient de l'instabilité des électrons à la surface de Fermi. Par consèquent le sytème évolu vers l'état le plus stable qui s'avère le plus souvent l'état singulet. Il faudrait donc rentrer dans la mécanique fine de la mathématique BCS pour voir si l'état singulet est systématique.

à noter qu'on a trouvé des composés montrant à la fois une phase ferromagnétique et une phase supra (mais pas en même temps bien sur) : donc avec un appariement de type triplet plutot (cf article dans nature de 2006 je pense)

de manière générale, il est bien clair que supraconductivité et magnétisme ne font pas bon ménage...

Les 2 phénomènes sont assez distincts:

Le ferromagnétisme concerne en général des isolants où les électrons sont situés sur des sites localisés. l'alignement des spins est du aux corrélations électronique qui minise l'énergie électrostatique (terme d'échange: voir hamiltonien d'Heisenberg) analogue de la régle de Hundt pour les atomes a couches incomplètes.
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La supraconductivité concerne des conducteurs dont la surface de Fermi est instable vis a vis du couplage électron-phonon.
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Il est donc très difficile de concevoir les 2 phénomènes en compétition au sein d'un même matériau (l'un est isolant, l'autre conducteur) à moins d'avoir affaire a du magnétisme itinérant où quelquechose comme çà.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2c6da301]

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C'est la meilleure solution. La supraconductivité est étranger à l'intuition.


c'est certain que les images sont pas forcément évidentes à avoir pour pas mal de choses. Ca reste de temps en temps possible tout de même !






Le plus important n'est pas de coupler des paires d'électrons d'impulsions opposées mais de coupler des électrons dont la différence d'impulsion |k1-k2|= q correspond à une densité d'état élevée dans l'espace des q. Ceci à constante de couplage indépendante de k et q. Maintenant si tu tiends compte que la constante que la constante de couplage dépend de k et de q alors il n'y aucune raison que les paires de k opposées soient favorisées.


à priori,je dirais que la constante de couplage dépend effectivement de k et q mais cela doît etre du 2ème ordre et on doit pouvoir comprendre avec une constante de couplage fixée.


ensuite, si je ne me trompe pas, il s'agit de la densité de phonons dans l'espace des q qui doit être la plus importante possible je pense : elle doit être la plus importante pour q=2kF (les électrons proches de la surface de Fermi sont ceux qui participent à la formation des paires BCS).

ça, j'avoue déjà qu je ne vois pas trop pourquoi...à creuser






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Le principe de la supra BCS vient de l'instabilité des électrons à la surface de Fermi. Par consèquent le sytème évolu vers l'état le plus stable qui s'avère le plus souvent l'état singulet. Il faudrait donc rentrer dans la mécanique fine de la mathématique BCS pour voir si l'état singulet est systématique.


dans les supras type BCS standard, je dirais que oui, l'état singulet est systématique (en fait, il est intégré dès le départ dans l'hamiltonien BCS)

il faut aller chercher des supras dits "exotiques" pour trouver de la supra avec des états triplets.



Les 2 phénomènes sont assez distincts:

Le ferromagnétisme concerne en général des isolants où les électrons sont situés sur des sites localisés. l'alignement des spins est du aux corrélations électronique qui minise l'énergie électrostatique (terme d'échange: voir hamiltonien d'Heisenberg) analogue de la régle de Hundt pour les atomes a couches incomplètes.
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La supraconductivité concerne des conducteurs dont la surface de Fermi est instable vis a vis du couplage électron-phonon.
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Il est donc très difficile de concevoir les 2 phénomènes en compétition au sein d'un même matériau (l'un est isolant, l'autre conducteur) à moins d'avoir affaire a du magnétisme itinérant où quelquechose comme çà.

Pour tout ça, je ne suis pas vraiment d'accord

le ferromagnétisme concerne aussi beaucoup de métaux (le fer est l'exemple le plus simple)

la supra concerne pas mal d'isolants (tous les supras haut-Tc ou presque sont à base de céramiques isolantes à température ambiante) : céramiques, isolant ou semi-conducteur qui, lorsqu'ils sont dopés, deviennent supra (ex du diamant par exemple)


pour moi, si magnétisme et supra ne font pas bon ménage, c'est plutôt que le premier réulte d'un couplage dans l'espace réel (via les intégrales d'échange la plupart du temps) tandis que le second résulte d'un couplage dans l'espace réciproque : et ça, effectivement c'est antagoniste...

[mariposa]

à priori,je dirais que la constante de couplage dépend effectivement de k et q mais cela doît etre du 2ème ordre et on doit pouvoir comprendre avec une constante de couplage fixée.

Effectivement, au niveau d'un modèle simple on peut se contenter d'une constante de couplage électron-phonon unique qui ne dépend ni des k ni des q.

Ensuite, si je ne me trompe pas, il s'agit de la densité de phonons dans l'espace des q qui doit être la plus importante possible je pense : elle doit être la plus importante pour q=2kF (les électrons proches de la surface de Fermi sont ceux qui participent à la formation des paires BCS).

ça, j'avoue déjà qu je ne vois pas trop pourquoi...à creuser

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La reponse tiend effectivement au fait qu'il s'agit des électrons situés au voisinage du niveau de fermi qui interviennent.
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En effet il s'agit de correler, via le couplage électron-phonon les électrons de tel sorte que l'état fondamental du système d'électrons libres soit abaissée.
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Pour simplifier raisonnons avec 2 électrons: Il faut former une base à 2 corps cad un ensemble de déterminant de Slater 2*2. Dans cette base l'hamiltonien à 2 corps est diagonal et represente les etats excités a 2 corps relativement au niveau de Fermi.
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Si maintenant si tu introduis le couplage électron-phonon dans cette base tu auras un hamiltonien de perturbation representé par des élements diagonaux (qui s'ajouteront aux termes cinétiques precedents) et des éléments non diagonaux.
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La diagonalisation de cette matrice te donnera les nouveaux états propres et notamment l'etat fondamental supra conducteur dont l'énergie doit être négative par rapport à l'énergie de Fermi.
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On note que les éléments non diagonaux augmente l'énergie (ca ne va pas dans le bon sens) alors que les éléments non diagonaux diminuent l'énergie. Cela signifie qu'il faut minimiser la contribution des termes diagonaux et donc prendre des paires immédiatement au-dessus du niveau de Fermi.

le ferromagnétisme concerne aussi beaucoup de métaux (le fer est l'exemple le plus simple)

la supra concerne pas mal d'isolants (tous les supras haut-Tc ou presque sont à base de céramiques isolantes à température ambiante) : céramiques, isolant ou semi-conducteur qui, lorsqu'ils sont dopés, deviennent supra (ex du diamant par exemple)

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Oui en fait c'est dangereux de vouloir formuler des généralités sur la supra et le ferromagnétisme comme je l'ai écrit. Mieux vaut raisinner sur un corps ou une famille de corps.

pour moi, si magnétisme et supra ne font pas bon ménage, c'est plutôt que le premier réulte d'un couplage dans l'espace réel (via les intégrales d'échange la plupart du temps) tandis que le second résulte d'un couplage dans l'espace réciproque : et ça, effectivement c'est antagoniste...

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Je ne suis pas sur que ce soit le bon langage pour expliquer l'antagonisme entre supra et ferromagnétisme.

[invite5465b1c2]

bonjour je suis eleve en prepa (PCSI) et j'ai choisis de prendre pour sujet de TIPE( travaux initiatives personnelles encadrées) la supraconductivité
et apres recherche j'ai trouvé plusieurs theories

tout d'abord l'effet meissner dont l'application courante est la levitation d'un aimant j'ai lu que cela se produisait car le conducteur repoussait tous les champs magnétiques malheureusement je n'ai que tres peu de connaissances sur les champs magnetiques pourriez vous m'expliqué comment un tel phenomene peut se produire et me donner quelques informations sur les champs magnetiques

j'ai lu ensuite la theorie bcs qui repose sur les paires de cooper les electrons se deplaceraient par pair ce qui permettrait au electrons de circulé plus vite d'ou l'effet supraconducteur (je ne suis pas du tout sur de mon explication a vrai dire je n'ai pas trouvé d'article qui relie le fait que les electrons se deplacent en pair et la supraconductivité)

si vous pouviez m'éclairer ca m'aiderait bcp merci

desolé d'avoir ecrit mon message comme reponse alors que je ne pose que des questions mais je n'ai pas trouvé le lien permettant d'ecrire un nouveau message

[yahou]

j'ai trouvé plusieurs theories

tout d'abord l'effet meissner dont l'application courante est la levitation d'un aimant j'ai lu que cela se produisait car le conducteur repoussait tous les champs magnétiques malheureusement je n'ai que tres peu de connaissances sur les champs magnetiques pourriez vous m'expliqué comment un tel phenomene peut se produire et me donner quelques informations sur les champs magnetiques

L'effet meissner n'est pas une théorie mais... un effet. Il est lié au fait qu'un supraconducteur est un diamagnétique parfait, ce qui revient à dire qu'aucun champ magnétique n'existe à l'intérieur. Ce fait est décrit par la théorie (empirique) de London, qui (contrairement à BCS) est compréhensible en prépa. Pour la lévitation proprement dite, ça doit se trouver dans les bons bouquins d'électromagnétisme.

Au passage on peut obtenir une lévitation magnétique avec d'autres matériaux, qui n'expulsent le champ que partiellement.

[yahou]

Pour ce qui est de la question originale, je me pose précisément la même, et il y a encore pas mal de détails qui m'échappent, mais voilà toujours quelques éléments.

Le terme de couplage e-/e- (une fois qu'on a éliminés les phonons de l'hamiltonien par une transformation appropriée) fait intervenir au dénominateur où est l'énergie du phonon () et est la variation d'énergie de l'e- qui a émis le phonon (ou de celui qui l'a reçu). Les termes dominants de l'interaction sont ceux qui verifient .

De plus, dans l'approximation de Debye, la densité de phonons est nulle pour où est la pulsation de Debye, petite devant l'énergie de Fermi.

En supposant les e- libres en dehors de ce couplage, on a (idem pour w), et donc les couples (k,w) qui maximisent l'interaction ont presque la même norme.

D'après un des bouquins que j'utilise (ici), la relation k=-w vient de ce que la condition précédente doit être vérifiée par les deux e- à la fois, joli dessin à l'appui, mais j'ai du mal à faire coller le dessin avec le calcul.
La suite dès que j'aurais éclairci cette zone d'ombre...

[yahou]

Pour la lévitation proprement dite, ça doit se trouver dans les bons bouquins d'électromagnétisme.

Je pensais au Jackson, mais ça n'est pas vraiment traité en détail.
En revanche il y a un exercice corrigé sur le sujet dans ce bouquin.

[invite2c6da301]

Pour ce qui est de la question originale, je me pose précisément la même, et il y a encore pas mal de détails qui m'échappent, mais voilà toujours quelques éléments.

Le terme de couplage e-/e- (une fois qu'on a éliminés les phonons de l'hamiltonien par une transformation appropriée) fait intervenir au dénominateur où est l'énergie du phonon () et est la variation d'énergie de l'e- qui a émis le phonon (ou de celui qui l'a reçu). Les termes dominants de l'interaction sont ceux qui verifient .

De plus, dans l'approximation de Debye, la densité de phonons est nulle pour où est la pulsation de Debye, petite devant l'énergie de Fermi.

En supposant les e- libres en dehors de ce couplage, on a (idem pour w), et donc les couples (k,w) qui maximisent l'interaction ont presque la même norme.

D'après un des bouquins que j'utilise (ici), la relation k=-w vient de ce que la condition précédente doit être vérifiée par les deux e- à la fois, joli dessin à l'appui, mais j'ai du mal à faire coller le dessin avec le calcul.
La suite dès que j'aurais éclairci cette zone d'ombre...

salut yahoo !

désolé de pas avoir répondu plus tôt, j'ai pas trop trainé sur le forum ces derniers temps !

content de voir qu'on se pose précisément la même question :

après avoir parcouru rapidement le Tinkham (livre référence que je te conseille) et avoir un peu discuté je crois effectivement que l'argument pour avoir des électrons appariés de vecteur d'onde opposé tient dans la conversion de l'impulsion totale du système :

1) on comprend que l'interaction via les phonons concerne uniquement les électrons situés près du niveau de Fermi (car énergie Debye << énergie de Fermi)

2) si on prend un de ces électrons de vecteur d'onde k et qu'on lui ajoute une composante dk (provenant de l'interaction avec un phonon) : le seul moyen pour conserver l'impulsion totale du système est d'oter ce même dk à l'unique électron (on met le spin de côté pour l'instant) de vecteur d'onde -k (un dessin avec la surface de Fermi rend tout ça très clair...)

3) enfin, l'appariement spin up/spin down vient du fait que dans l'espace des spins (espace de Hilbert complètement indépendant de celui des orbitales) de 2 électrons, l'état singulet (up-down + down-up/sqrt(2)) a une énergie inférieure à l'état triplet de spin 1.

voilà, je sais pas si j'ai été clair, mais j'ai à peu près la réponse à ma question originale en tout cas !

[yahou]

l'argument pour avoir des électrons appariés de vecteur d'onde opposé tient dans la conversion de l'impulsion totale du système :

[...]

2) si on prend un de ces électrons de vecteur d'onde k et qu'on lui ajoute une composante dk (provenant de l'interaction avec un phonon) : le seul moyen pour conserver l'impulsion totale du système est d'oter ce même dk à l'unique électron (on met le spin de côté pour l'instant) de vecteur d'onde -k (un dessin avec la surface de Fermi rend tout ça très clair...)

C'est le genre d'argument que l'on trouve dans les bouquins sur la question (du moins ceux qui restent à un niveau introductif). Mais pour moi ça ne suffit pas.
La conservation de l'impulsion impose que si un e- passe de k à k+q, l'autre passe de w à w-q, ce qui correspond à l'image d'un phonon de vecteur d'onde q emis pas l'e- k et absorbé par l'e- w. Rien de plus. Et c'est déjà pris en compte dans l'hamiltonien effectif que j'évoque dans le message #9.

La contrainte supplémentaire vient de ce que la différence d'énergie entre l'état initial et l'état final doit être faible pour chaque e- pris indépendamment. Ceci impose , mais pas .
Mais il y a pire, et c'est là que j'ai (pour le moment) lâché l'affaire, c'est que l'hamiltonien de départ peut s'écrire sous une forme faisant intervenir

et cette forme, associée à suggère plutôt que l'inverse !

J'imagine que j'ai commis une erreur de calcul quelque part, mais je ne l'ai pas trouvée. Je vais essayer de regarder dans le Tinkham si c'est traité plus en détail.