Ecoulement dans une bobine (problème de compréhension)

[invitec1f8f472]

Bonjour,

Je suis actuellement bloqué sur cet exercice :

Soit une bobine de rayon extérieur r1 et rayon extérieur r2 et une plaque de masse m. On impose dans la bobine un débit d'air de vitesse v.




Questions :

1)Condition sur v pour que le fluide soit incompressible ?

J'ai répondu que la condition nécessaire pour que le fluide soit incompressible est : div(v)=0


2)Expression de la vitesse du fluide pour r»r1 ?

En fait, je ne vois pas comment aborder cette question, je pensais utiliser le théorème de Bernouilli mais je ne m'en sort pas puisque je ne comprends pas le schéma donné et la "nature de l'écoulement".

3)Pression au dessus de la plaque en fonction de r ?

4)Force subie par la plaque, calculer h à l'équilibre. Stabilité ?

En résumé, je ne comprends pas bien comment "fonctionne" cette exercice, en effet, on parle de rayon alors que le schéma donné n'en fait pas apparaître. Donc, du coup, je suis un peu perdu.

Pouvez vous me donner un coup de pouce pour que je puisse finir l'exercice ?

Merci d'avance
A+
-----

[sitalgo]

Bonsoir,

Techniquement le problème serait intéressant avec le schéma à l'envers : une plaque de masse m est poussée sur une hauteur h par un flux d'air.
Dans ce sens je ne vois pas l'intérêt de la masse de la plaque.

Cela dit, pour les rayons je pense que r1 est le rayon de l'arrivée d'air et r2 le rayon maximum (près de la plaque).

La vitesse du fluide : il doit s'agir de la vitesse du fluide qui s'échappe horizontalement entre bobine et plaque en fonction de r (distance au centre) et de h.

Q3 ça doit être en relation directe avec tes cours.

[invitec1f8f472]

Merci d'avoir répondu aussi vite.

En fait, je ne vois pas où vous mettez vos rayons r1, r2 et surtout r. Parce que pour moi l'air arrive vers le haut, puis entre en contact avec la plaque pour se diffuser entre le bord et la plaque (des deux cotés), seulement, pour les rayons, je ne vois pas où vous les placez.

Sinon, j'aurais utilisé le théorème de Bernouilli pour calculer la vitesse étant donné que les conditions sont satisfaites, c'est valable ici?

Mais, pour la pression, on utilise Bernouilli aussi non ? Parce que j'aurais tendance à dire que l'écoulement est stationnaire mais ensuite ...

Dans mon cours, rien n'est marqué à ce sujet (calcul de pressions et de forces, donc je suis un peu embété il faut dire).

Merci d'avance pour votre aide.
A+

[sitalgo]

On voit que l'air traverse la bobine par un trou, je suppose qu'il est circulaire de rayon r1.
R2 est le rayon de la face de la bobine qui fait face à la plaque.
r est une variable représentant un rayon, celle de V(r) pour la Q2.

Pour la vitesse c'est simplement un question de géométrie des lieux, elle diminue en fonction de r.

[A voir en vidéo sur Futura]

[FC05]

Pour le fun, j'ai fait le calcul ...

Je trouve : F = ((ro.(r1)^4.v^2)/(4.h^2)).ln(r2/r1) ...

ro étant la masse volumique de l'air.

sauf erreur de calcul de ma part, mais ça semble homogène.

[invite4d2b4abb]

tu serai pas de Kerichen Brest par hasard car j'ai le meme exo afaire!!

[FC05]

Sinon, j'aurais utilisé le théorème de Bernouilli pour calculer la vitesse étant donné que les conditions sont satisfaites, c'est valable ici?

Mais, pour la pression, on utilise Bernouilli aussi non ? Parce que j'aurais tendance à dire que l'écoulement est stationnaire mais ensuite ...

Pour calculer la vitesse, il faut poser la conservation du débit volumique et après on pose Bernouilli.

[invitec1f8f472]

Non désolé, je suis en prépa intégré, à l'Enit.
A+

[invitec1f8f472]

Mais, en fait, je viens de voir le message de FC05, comment arrivez vous à une telle expression (avec du logarithme) ?
Parce moi j'obtient quelque chose de relativement simple, donc je ne vois comment vous avez déterminé cette expression.

Merci d'avance

[FC05]

Ca va être un peu long ...

D'abord la conservation du débit volumique (que l'on peut appliquer car le fluide est incompressible ... question 1, le gaz a une vitesse très inférieure à la vitesse du son).

Le débit est : Qv = S . v (S, la surface, v la vitesse)
Dans la partie qui descend : Qv = pi.r1^2.v
Dans la partie entre la feuille et la bobine, c'est plus compliqué car la surface dépend de r, donc v aussi (noté v(r)) : S = 2.pi.r.h
Soit Qv = 2.pi.r.h.v(r)

On égalise les deux expressions et on trouve :
v(r) = (r1^2.v/(2.h))/r

Si on pose A = r1^2.v/(2.h), ça donne :
v(r) = A/r

suite au prochain post

[FC05]

La suite ...

Tu poses Bernouilli entre un point à l'extérieur situé à la même altitude que le milieu de l'écart entre la bobine et la feuille (point O) et un point situé entre la bobine et la feuille (r1<r<r2).

Tu simplifie (vo = 0, zo = z(r)) et tu trouves l'expression de delta_p(r) = p_o-p(r) = (ro/2).(A²/r²)

La force maintenant ...

La force de pression est de la forme F = delta_p.S, le problème est qu'ici la force n'est pas constante, il va donc falloir découper la surface en éléments infiniment petits, pour lesquels la force est constante puis intégrer.

La petite surface est un anneau de rayon r et d'épaisseur dr, soit ds = 2.pi.r.dr.

On a dF = delta_p(r).ds

on remplace, on intègre entre r1 et r2 un truc en 1/r (d'où le ln) et sauf erreur de ma part on trouve le résultat ...

[invitec1f8f472]

Ok, je ne trouve pas pareil, je t'explique mon raisonnement.

Pour la vitesse, j'arrive à la même chose soit :

v(r) = (r1^2).v/(2.hr)

Maintenant, concernant, la pression, j'ai déterminé tout d'abord la pression dans la zone comprise entre la plaque et la bobine. J'utilise Bernouilli et j'obtient ceci :

p(r)=po+(ro/2)v(R)^2 - (ro/2)v(r)^2=po+(ro.vo^2.r1^4/8h^2)((1/r2^2)-(1/r^2))


Parce qu'en fait, je ne comprends pas bien ce que tu as fait pour trouver delta_p(r) (en fait, comment as tu écris le théorème de Bernouilli ?).

Concernant, la force, du coup, j'obtient quelque chose de bien compliqué, donc je dois avoir faux. Mais, avec ta méthode, je fais le calcul :

dF=delta_p(r).ds

dF=(ro/2).(A^2/r^2).2.pi.r.dr

dF=(ro/2).(r1^4.v^2/(4.h^2.r^2).2.pi.r.dr

F=int((ro/2).(r1^4.v^2/(4.h^2.r^2).2.pi.r.dr,r1,r2)

F=int((ro/2).(r1^4.v^2/2h^2.r).pi.dr,r1,r2)

F=int((ro/2).(r1^4.v^2.pi/2h^2).(1/r).dr,r1,r2)

F=((ro/2).(r1^4.v^2.pi/2h^2).ln(r2/r1)

F=(ro.(r1^4).(v^2)/4h^2).ln(r2/r1)

Donc, je confirme ton résultat, mais seulement, je ne vois pas comment tu trouve p(r), parce que je ne trouve pas la même chose.

Merci d'avance
A+

[FC05]

D'abord dans Bernouilli, je choisi un point à l'extérieur de la bobine, là où il n'y a pas d'écoulement. Donc la vitesse du fluide est nulle à cet endroit.

Aprés je pose delta_p(r) = po-p(r), avec po, la pression atmosphérique ... pratique car c'est justement le delta_p qui permet de calculer la force ! Dans les calculs il vaut mieux avoir un cran d'avance.