Les groupes en physique

[Seirios]

Bonjour à tous,

Dans divers discussions, on retrouve régulièrement la notion de groupe, tels que les groupes SU(3), SU(4)...Mais malheureusement je n'y comprends pas grand chose, et je n'ai que très peu, pour ne pas dire pas du tout, de connaissances sur le sujet.

Aussi, j'aimerais connaître le niveau auquel on étudie ces groupes et leurs applications en physique ainsi que les prérequis nécessaires (et puis si vous aviez un petit document sympa sur le sujet ce serait pas mal ).

Et puis, afin d'avoir une discussion constructive, je pose la question : A quoi servent les groupes en physique ? (ont-ils le même sens qu'en mathématiques ?)

Merci d'avance
Phys2
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[invitebe0cd90e]

est ce que tu sais deja ce qu'est un groupe en mathématiques ?

[invitebe0cd90e]

en fait, ta question laisse entendre que oui.. bon. comme tu dois le savoir, un groupe est un ensemble muni d'une loi de composition, d'une operation.

La question qu'on peut se poser est : finalement, quel est le groupe le plus "typique" ?? par exemple, l'ensemble des entiers relatifs est un groupe, mais c'est un groupe tres particulier, puisque il est monogene, il a aussi une structure d'anneau...

en fait, le groupe le plus typique, c'est un ensemble de "tranformation", le sens qu'on donne a "transformation" pouvant beaucoup varier suivant le contexte.

en effet, si tu prend un ensemble d'objets, et que tu prends 2 manieres d'agir sur ces objets, tu peux les "ajouter" simplement en effectuant ces actions l'une a la suite de l'autres.

un exemple simple mais tres general est le groupe symetrique, qui correspond a l'ensemble des permutations possibles d'un ensemble fini d'objet.

un autre exemple tres important c'est l'ensemble des transformation geometriques dans un espace vectoriel : les rotations, les translations, les homothetie... en un mot le groupes des matrices inversibles en dimension n

en fait, tous les groupes (ou au moins la plupart) peuvent etre vus comme un sous groupe de l'un de ces 2 groupes.

du coup, les groupes ont un lien tres etroit avec les symetries.. dire qu'un objet possede une symetrie, ca veut dire qu'un certain sous groupe du groupe des transformations qu'on peut appliquer a cet objet ne lui fait rien....

il me semble que c'est dans ce sens qu'ils interviennent en physique, comme des ensembles de certaines transformations de certains ensembles en dimension n.

[Seirios]

Merci jobherzt, ça devient un peu plus claire Et à quel niveau est-ce que pourrait trouver une introduction en ce domaine ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe0cd90e]

comme je te le dis, je ne suis pas physicien, donc je ne sais pas forcement a quelle chose "concrete" cela sert.

pour le niveau de tout ca, je dirais que c'est du L2 (2e annee de maths, ou math spe). mais si tu sais ce qu'st un groupe je pense que tu peux comprendre pas mal de choses, regarde du coté :

- de la notion d'action de groupe
- des groupes de matrices, comme GL(n,R), SO(n,R), SL(n,R), SU(n,R) etc... tu en trouveras une definition sur wikipedia, par exemple, ce sont des choses assez simples a comprendre.

un point de depart :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_..._lin%C3%A9aire
http://fr.wikipedia.org/wiki/Action_...%A9matiques%29
http://fr.wikipedia.org/wiki/Repr%C3...on_des_groupes
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...des_invariants

en founiant sur google, j'ai aussi trouvé ca : http://www.emma.inpl-nancy.fr/doc/symetrie04.pdf

qui a l'air de donner un petit apercu des applications des groupes en physique.

[Coincoin]

Salut,
En maths, c'est niveau L2-L3. L'application à la physique se fait plutôt en M1-M2.

En physique, ça dépend aussi du domaine : ça s'applique aussi bien à la physique des particules, qu'à la physique du solide ou à la chimie quantique. Le document de Jobherzt m'a l'air de bien montrer cette variété.

[Seirios]

Merci je vais éplucher tout ça

[Karibou Blanc]

A quoi servent les groupes en physique ?

D'une manière générale les groupes en physique servent à dériver et exploiter de manière efficace les conséquences d'une symétrie. L'existence d'une symétrie dans un système physique se traduit en langage groupe par l'existence d'invariants sous le groupe de transformations associé à la symétrie.
Ex : j'étudie un système qui semble posséder une symétrie sphérique, si c'est bien le cas alors toutes les caractéristiques de ce système doivent s'écrire mathématiquement en terme d'invariants (grandeur qui restent identiques après transformation) sous le groupe des rotations 3D.

[Karibou Blanc]

La grande efficacité des groupes est que ces invariants sont très facile à construire et on se rend compte qu'il n'y en a pas des tonnes. Les "briques" élémentaires pour la construction d'invariant sont grosso modo des objets (mathématique) qui constituent ce qu'on appelle une certaine représentation du groupe. A chaque représentation on peut associer une sorte de charge, et un invariant sera une combinaison de representations de sorte que la charge totale soit nulle.
C'est effroyablement puissant comme approche quand on étudie un système physique un peu complexe.
C'est la raison pour laquelle depuis pas mal de temps la "mission" du physicien qui cherche à résoudre un problème quelconque consiste à trouver si le systeme en question possède une certaine symétrie, évidente (genre droite/gauche ou rotation) ou plus abstraite (genre symetrie de jauge).

[physeb]

Si tu veux voir la base de l'utilisation des groupes en physique, je t'invite à te renseigner sur le principe de Curie (Pierre cette fois, et oui c'était un gros géni lui aussi). C'est principalement de la christallo.

Si tu veux maintenant l'utilisation la plus générale dans la physique, il faut aller voir du côté du théorème de Noether. En fait Karibou Blanc en a déjà donné l'escence sans mentionner son nom.

Maintenant si tu veux l'introduction mathématiques, regarde le début du travail d'évariste Gallois, qui est le pionier. Pour la petite histoire, il aurait écris la théorie des groupes dans les jours qui ont précédés sa mort à 21 ans. Il s'est dépéché car il savait qu'il allait mourir lors du duel qui l'opposait au marri de sa maitresse.

Voili voilou.

[invitebe0cd90e]

que nenni, c'etait une conspiration ourdie par louis phillipe pour le reduire au silence ! question subsidiaire : serait il mort s'il n'avait pas passé la nuit a ecrire ??