Vibration

[invitea7dc4381]

Bonsoir,
j'essaye de résoudre un problème de vibration et je rencontre quelques difficultés.
1) Je suis pasée par le PFD et je retouve l'équation du mvt de la masse n
mÜn = -K(Un - Un-1) - K(Un+1 - Un)
= -K(2Un - Un-1 - Un+1)
2)Connaissant Ûn =A exp j(wt-qna) j'ai trouvé :
Ûn-1 = Ûn.A exp(jqa)
Ûn+1 =Ûn.Aexp(-jqa)
Bien qu'ayant remplacer Ûn, Ûn-1 et Ûn+1 dans l'équation trouver en 1, et calculer Ün que d'ailleurs je trouve égale à Aw².Un je ne retrouve pas la relation de dispersion. Je trouve que w(q) = (k/m (2-2Acos(qa)))½

B)
1) j'aimerais savoir comment faire la justification; puis reprendre le même mode opératoire qu'au A 1)?
Merci.
Ps : l'énoncé du problème est la pièce ci jointe
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[cedbont]

Bonjour,
on obtient bien la relation demandée.

D'abord on exprime u_n+1 et u_n-1 :
u_n+1 = A.e^{j.(t - q(n + 1)a)} = u_n.e^-jqa
u_n-1 = A.e^{j.(t - q(n - 1)a)} = u_n.e^jqa

Ensuite on remplace dans la relation du PFD :
m.ü_n + K.(2.u_n - u_n+1 - u_n-1) = -m.².u_n + K.u_n.(2 - e^-jqa - e^jqa) = 0

On simplifie par u_n et donc la loi du mouvement est valable si et seulement si :
-m.² + K.(2 - 2.cos(q.a)) = 0

Or : 1 - cos(q.a) = 2.sin²(q.a/2)

D'où la réponse.

Pour la B 1), je réutiliserais le PFD.

[invitea7dc4381]

Merci bcp, je me rends compte que j'ai fait pleins d'erreurs!
Pour la suite voici ce que j'ai fait mais je n'en suis pas sure!
2a)
Après avoir réécris l'équation du mvt j'ai dit que si ts les elts vibraient à une même fréquence F = w/2pi alors la solution générale est une superposition d'onde progressives de sens opposées Un =Aexp j(wt -qrna) +Bexp j(wt +qina). ( Est ce correcte pour une déduction?)
2b) Pour la relation entre qi et qr je ne sais pas comment le faire.
3) Compte tenu de ce que j'ai écrit en 2a) et en reprenant la condition au limite sur Ûo(t)
Ûo= 0 impose : Ar.exp(-jqrna) + Ai.exp (jqina) = 0
Ar= -Ai
Pour la nature de l'onde j'ai mis stationnaire.
C)
En faisant les dvlpts limités le résultat que j'ai trouvé ne ressemble en rien à l'équation de propagation d'un fluide parfait .
merci encore.

[cedbont]

Pour les 2a, et 2b,, je n'en sait rien.
Pour la 3,, je dirais A_i = A_r (attention aux signes des arguments).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea7dc4381]

Merci je vais réessayer.