Oscillations libres ammorties - incohérence physique....?

[invitee17fdb12]

Salut à tous!
Voilà, je m'en remets à vous parce que je commence à désespérer complétement.
Il ne s'agit pas d'un exercice mais de l'application du principe fondamental de la dynamique sur un pendule de torsion (mais après reflexion, le même problème se produirait avec le pendule simple).

Rappels théoriques:
(je sais que c'est un peu lourd mais sinon je ne peux pas expliquer mon problème...)

Bon, avec le pendule de torision, on a l'équation suivante:


Où:
J est le moment d'inetrie de pendule
k est le coefficient de proportionalité entre le moment du couple de freinage du aux frottement visqueux et la vitesse angulaire.
C est la constante de torsion.

Equation qui peut aussi être vue sous la forme:


Où:
est le coefficient d'amortissement et
est la puslation propre du pendule de torsion et

Bon, jusque là, pas de problème.

Maintenant, si on a alors, la solution réelle de cette équation est:


Où:
A est une constante

représente le déphasage éventuel.

Donc si on représente cette fonction, on obtient une jolie courbe d'oscilations ammorties. (j'espère que vous en avez une représentation qui traine dans le coin parce que je n'ai pas pu en scanner une, ptetre dans vos vieux cours...lol)

Bon, passons au problème maintenant:

J'utilise le raisonement suivant, et j'aimerai que vous me disiez si il est bon (il y'a moyen qu'il soit faux puisque je tombe sur une contradiction mathématique).
On se place en un point où .
En ce point, la vitesse angulaire est maximale donc en gros
est tout sauf égal à 0.
Comme la vitesse angulaire est maximale, elle passe donc par un extremum et sa dérivée est lulle, c'est à dire:

Donc, finalement, on arrive au résltat suivant en reprenant l'équation du haut:

Comme on a vu que est maximale, donc différent de 0, alors forcément .
Mais est une constante différente de 0 puisque qu'il est égale à !!!

Donc, voilà, j'arrive à une contradiction... tout ce que je viens d'écrire est tiré de mon cours sur les oscillations (cours sur photocopies, donc ce n'est pas une erreur de recopiage...)
J'ai fais quelques recherches sur le net et les équations semblent bonnes...
Si quelqu'un à une explication à mon problème, ou si j'oublie quelquechose, qu'il me le dise parce que je désespère... lol

Merci par avance à tous ceux qui auront le courage de se creuser la tête.

Tchouss!
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[invite88ef51f0]

Salut,
Si tu regardes la courbe, tu peux voir que le fait qu'il y ait une enveloppe décroissante fait que le maximum local (de position ou de vitesse, comme tu veux) ne correspond pas au maximum de la fonction trigonométrique.
Donc je ne pense pas que la vitesse soit maximale exactement en . Tu ne peux pas alors annuler simultanément la dérivée seconde et theta, donc tes problèmes sont réglés.

[invitee17fdb12]

Salut!
Tout d'abord, merci pour ta réponse, c'est sympa de m'aider parce que j'ai cru que j'allais m'aracher les cheveux, lol!
Je n'ai pas très bien compris en quoi le fait qu'il y est une envellope décroissante fait que le maximum local ne correspond pas au maximum de la fonction trigo (d'ailleur, je ne vois pas trop comment c'est possible puisque lorsque est au max, c'est que le cosinus est lui aussi au maximum...)
C'est vrai que le point qui joint la courbe de l'enveloppe et la courbe qui représente n'est pas le point maximal mais je ne vois pas en quoi cela m'aiderai dans mon problème...
Si tu pouvais me préciser ce que tu voulais me dire, ce serait super sympa!
Merci!
Tchouss!

[zoup1]

Ce qui dit Coincoin, c'est que les extremum de la fonction et de la fonction ne coïncide pas. Il y a un décalage lié à la fonction exponentielle.
Du coup le maximum de la vitesse n'est pas obtenu en et donc ton raisonnement n'est pas valable...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee17fdb12]

Ah! Ok, je crois avoir compris maintenant!
C'est vrai que je ne savais pas qu'il y'avait un décalage d'extremum entre ces deux fonctions...
Donc dans ce cas, l'extremum de la vitesse ne peut pas l'être à puisque ce point là correspond à l'extremum de la fonction trigo et non de la fonction !
Cool!!!
Bah je suis bien content parce que je sens que cette question m'aurait empecher de dormir cette nuit! lol
Ah! Une petite dernière question: comment à partir de cette courbe puis-je determiner et J?
Pour J, j'ai pensé utilisé le fait lorsque est petit, pour ainsi remonter à et donc à J (je connais C). Mais pour , je ne vois pas du tout comment faire (je ne connais pas k...).
Merci encore!

[invite88ef51f0]

correspond à l'amortissement. Il faut donc regarder l'enveloppe et voir son temps caractéristique, ou bien regarder le rapport entre deux maxima consécutifs, ...

[invitee17fdb12]

Oki! Merci encore pour toutes vos indications et merci d'avoir pris un peu de votre temps pour me répondre!
Bonne fin de journée à tous!

[Pio2001]

Interprétation physique :

Le premier terme de l'équation différentielle représente l'accélération fois l'inertie. Selon le principe fondamental de la dynamique, il est égal à la somme des forces appliquées.

Ici, on a la force de torsion du pendule, qui est nulle lorsque théta vaut zéro, et on a une force de frottement qui est proportionnelle à la vitesse.

Lorsque théta vaut zéro, la force de torsion exercée par le pendule est bien nulle (troisième terme), mais pas la force de frottement (second terme).
Or cette force de frottement ralentit la rotation de l'ensemble, donc le premier terme n'est pas nul non plus !

Il est nul juste avant, lorsque la force de torsion du pendule, non nulle, compense exactement le frottement.