Analyse dimensionnelle

[invite69d38f86]

Bonjour,

Je connais comme tout le monde la notion d’analyse dimensionnelle utile par exemple pour les changements d’unité.
J’ai lu récemment un article où l’on introduit la notation crochet pour la dimension. d’une grandeur : [grandeur] = nombre.
Ainsi on pose [L] = 1
Une durée a même dimension qu’une longueur : [T] = 1
Pour une vitesse on a V = L/T donc [V] = [L] – [T] = 0
L’énergie E nécessaire pour une observation à une longueur L variant de façon inversement proportionnelle à L, on pose [E] = -1, donc pour une masse [M] = -1
on a [action] = [ET] = 0
On attribue également des dimensions aux opérateurs,
[d/dx] = -1
[int dx] = 1

Ceci permet d’attribuer une dimension à une fonction d’onde, aux constantes de couplages quand l’hamiltonien est donné.

Sur cet exemple en dimension D

Je n’arrive pas à retrouver la dimension de (qui doit être D/2 – 1 ?).
Je sais que je dois confondre énergie et action
Quel est la dimension de H ?
De plus y a-t il une relation entre la dimension d’une fonction d’onde en dimension D et son nombre de composantes (spin)?

Il y a aussi sans doute une cause en relation avec la nullité de leur dimension au fait que l'on puisse poser en unités naturelles hbar = c = 1.

Merci pour vos développements.
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[inviteca4b3353]

Ainsi on pose [L] = 1

En générale on travaille avec comme référence la dimension de masse, c'est ce qui apparait naturellement lorsqu'on choisit un système d'unité pour lequel c=hbar=1. Ainsi on pose plutot [M]=1. Ca explique peut etre pourquoi tu ne retrouves pas la bonne dimension pour le champ scalaire.

Ensuite en D dimensions, tu as l'integrale d'action qui vaut [S]=0. c'est le cas dans un système d'unités naturelles car l'action controle la phase des amplitudes de probabilité en mécanique quantique (à la Feynman). S étant alors l'argument d'une exponentielle, l'action ne peut etre dimensionnée.
Ensuite S est une intégrale sur D dimension du lagrangien L. la dimension de L est donc [L]=D, puisque [dx]=-1.
La dérivée (d/dx) variant comme 1/x, on a [d/dx]=1. Ainsi, si on regarde le terme cinétique du lagrangien par exemple, on a [phi]^2.[d/dx]^2=D.
d'ou il vient [phi]=(D-2)/2=D/2-1.

De plus y a-t il une relation entre la dimension d’une fonction d’onde en dimension D et son nombre de composantes (spin)?

Pour un scalaire, non car la dimension (de masse) dépend de D alors qu'il n'a toujours qu'un seul degré de liberté (c'est une representation triviale du groupe de Lorentz). Par contre pour les fermions et les vecteurs, il y a une relation mais pas tres explicite.

l y a aussi sans doute une cause en relation avec la nullité de leur dimension au fait que l'on puisse poser en unités naturelles hbar = c = 1.

en effet, si hbar ne vaut pas 1, la phase de l'amplitude probabilité est controlée par S/hbar et la dimension de S ne peut plus etre nulle. mais on a [S]=[hbar].

Remarque, quand on se place dans un système non naturelle, ce n'est plus la constante de couplage qui controle le développement perturbatif en TQC mais hbar lui meme.

[invite69d38f86]

En générale on travaille avec comme référence la dimension de masse, c'est ce qui apparait naturellement lorsqu'on choisit un système d'unité pour lequel c=hbar=1. Ainsi on pose plutot [M]=1. Ca explique peut etre pourquoi tu ne retrouves pas la bonne dimension pour le champ scalaire.

Bonjour et merci,

En effet avec la convention [L] = 1, j'arrivais à une dimension pour phi de signe opposé!

[invite69d38f86]

Bonsoir,

en effet, si hbar ne vaut pas 1, la phase de l'amplitude probabilité est controlée par S/hbar et la dimension de S ne peut plus etre nulle. mais on a [S]=[hbar].

Est-ce la raison du "choix" de [S] = 0?

Pour revenir sur les valeurs attribuées aux dimensions, y a t il une raison de choisir [M] = 1 plutot que -1 ou 2,5.

En fait je ne comprends pas dans ce calcul dimensionnel ce qui provient d'une obligation de cohérence et ce qui vient d'une convention.

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