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principe de fermat



  1. #1
    mamono666

    principe de fermat

    Bonjour,

    En optique géométrique, il existe divers principes permettants de dessiner les rayons lumineux, dont le principe de base qui est celui de fermat. Ce principe nous dit que le chemin optique est stationnaire (et en générale il sera minimum).


    Donc si l'on considère une multitude de chemins, le principe nous dit finallement quel chemin est le bon.

    Je joint une image sur laquel on voit un point A et B dans un milieu 2. Au dessus il y a un milieu 1. Ces deux milieux sont homogènes et isotropes. Je prend pour hypothèse que le milieu 1 à un indice optique plus faible que le milieu 2.

    J'ai tracé deux chemins, celui qui reste dans le milieu 2 (donc la ligne droite) et celui qui passe par le milieu 1. Si je calcul le chemin optique, celui passant par le milieu 1 sera plus court que la ligne droite.

    Mais la j'ai l'impression que quelque chose ne tourne pas rond, car d'apres le principe de fermat la lumière devra passer par le chemin minimum donc par le milieu 1.....et donc ne se propagerait pas en ligne droite comme on le croirait intuitivement sur le schema...

    est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer correctement ce principe et me dire ce qui ne va pas dans l'exemple que j'ai donné??

    Merci

    -----

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    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

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  3. #2
    yahou

    Re : principe de fermat

    Citation Envoyé par mamono666 Voir le message
    le chemin optique est stationnaire (et en générale il sera minimum).
    Donc si l'on considère une multitude de chemins, le principe nous dit finallement quel chemin est le bon.
    En fait le principe de Fermat nous dit quels chemins sont les bons. Tous les extrema locaux du chemin optique sont des chemins physiques.

    Dans ton exemple (l'image ne s'affiche pas encore, donc corrige moi si je fais fausse route), il y a deux chemins physiques :
    - la ligne droite est un minimum local, mais pas global, du chemin optique
    - le minimum global est obtenu en passant par le milieu 1 (moyennant une condition sur la distance AB par rapport à la distance de A et B à l'interface)

    Le deuxième chemin peut aussi être obtenu par les lois de Descartes : il correspond à un rayon qui part de A, arrive sur l'interface avec l'angle limite, ressort parallèle à celle-ci qu'il longe jusqu'à retraverser et sortir avec l'angle limite pour finir en B.

    Il est un peu tiré par les cheveux car un rayon qui se propage sur l'interface vient titiller les limites de notre modèle (interface parfaitement plane, indice optique discontinu, rayon infiniment fin...), mais il ne viole pas l'équivalence entre Fermat et Descartes.
    Dernière modification par yahou ; 13/09/2007 à 16h39.
    Those who believe in telekinetics, raise my hand (Kurt Vonnegut)

  4. #3
    mamono666

    Re : principe de fermat

    merci pour ta réponse.

    Tu parles d'une condition de distance à l'interface? quelle est cette condition?

    Mais sinon, dans le cas, comme ca, de milileu inhomogène, en fait, la lumière ne se propage pas du tout en ligne droite obligatoirement alors. Il y a une multitude de chemin à priori?
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  5. #4
    livre

    Re : principe de fermat

    Salut,

    Je n'ai pas vu ton image, mais si je suppose que c'est une ligne brisée en trois morceaux,

    Citation Envoyé par mamono666 Voir le message
    Bonjour,
    Si je calcul le chemin optique, celui passant par le milieu 1 sera plus court que la ligne droite.
    c'est exactement le processus des mirages, sauf que pour le mirage, la forme du chemin est une courbe continue.

  6. #5
    Chip

    Re : principe de fermat

    Citation Envoyé par mamono666 Voir le message
    J'ai tracé deux chemins, celui qui reste dans le milieu 2 (donc la ligne droite) et celui qui passe par le milieu 1. Si je calcul le chemin optique, celui passant par le milieu 1 sera plus court que la ligne droite.

    Mais la j'ai l'impression que quelque chose ne tourne pas rond, car d'apres le principe de fermat la lumière devra passer par le chemin minimum donc par le milieu 1.....et donc ne se propagerait pas en ligne droite comme on le croirait intuitivement sur le schema...

    est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer correctement ce principe et me dire ce qui ne va pas dans l'exemple que j'ai donné??

    Merci
    Cette situation a été examinée ici : http://forums.futura-sciences.com/thread27321.html .

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    yahou

    Re : principe de fermat

    Citation Envoyé par mamono666 Voir le message
    Tu parles d'une condition de distance à l'interface? quelle est cette condition?
    Mon affirmation est un peu ambigue. Le chemin qui passe par le milieu 1 existe toujours, ie c'est toujours un minimum local. En revanche ce n'est pas toujours le minimum global. L'obtention du cas limite où les deux chemins ont la même longueur nécessite un calcul et fait intervenir les deux indices, mais il n'est pas difficile de se convaincre que si la distance AB est plus courte que la distance nécessaire pour aller jusqu'au milieu 1 et en revenir, alors le chemin le plus court est la ligne droite.

    Citation Envoyé par mamono666 Voir le message
    Mais sinon, dans le cas, comme ca, de milileu inhomogène, en fait, la lumière ne se propage pas du tout en ligne droite obligatoirement alors. Il y a une multitude de chemin à priori?
    Si la ligne droite est inclue dans une zone d'indice constant, alors c'est toujours un chemin physique, ie il existe toujours au moins un chemin droit. Dans un cas quelconque on ne peut rien dire a priori sur le nombre et la forme des chemins, à part que plus le champ des indices est tordu, plus il risque d'y en avoir et moins ils seront droits.

    Au passage un autre cas simple ou on a deux chemins est le miroir (avec A et B du même côté du miroir) : la ligne droite est le chemin le plus court, et le trajet du rayon réféchi est un minimum local.
    Those who believe in telekinetics, raise my hand (Kurt Vonnegut)

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  10. #7
    mamono666

    Re : principe de fermat

    Citation Envoyé par livre Voir le message
    Salut,

    Je n'ai pas vu ton image, mais si je suppose que c'est une ligne brisée en trois morceaux,



    c'est exactement le processus des mirages, sauf que pour le mirage, la forme du chemin est une courbe continue.
    Je ne comprend pas trop, dans le cas du mirage, on a un objet particulier: un objet diffusant qui renvoie la lumière dans toutes les directions.

    Une direction particulière arrive donc dans notre oeil et entre les deux, on applique les lois de snell-descartes.
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  11. #8
    mamono666

    Re : principe de fermat

    Citation Envoyé par Chip Voir le message
    Cette situation a été examinée ici : http://forums.futura-sciences.com/thread27321.html .
    oui, j'ai lu le post. Je ne sais pas si je comprend bien.

    Quel est le probleme de la discontinuité?

    De par sa nature ondulatoire, un rayon lumineux ne suivra pas le chemin optique le plus court?

    PS: désolé de relancer le sujet, c'est peut être moi qui suis un peu long à comprendre
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  12. #9
    Ledescat

    Re : principe de fermat

    Bonjour à tous.

    Je voulais savoir si, pour un système optique rigoureusement srigmatique, le chemin optique entre un point M et son image M' était le même quel que soit le rayon considéré ?
    Par exemple pour une lentille convergente supposée parfaite, le chemin optique en passant par le rayon qui passe par le centre est-il le même que celui passant par le foyer et ressortant parallèle ?

    Merci à vous.
    Cogito ergo sum.

  13. #10
    Coincoin

    Re : principe de fermat

    Je dirais que oui, d'après le théorème de Malus.
    Encore une victoire de Canard !

  14. #11
    Ledescat

    Re : principe de fermat

    Citation Envoyé par Coincoin Voir le message
    Je dirais que oui, d'après le théorème de Malus.
    Oui je me disais cela aussi. Mais du fait qu'au voisinage de la lentille, ça devient assez "chaotique" (terme incorrect certes ), ça me perturbe un peu. Je me suis demandé s'il ne pouvait pas y avoir un retard entre 2 surfaces d'ondes à l'arrivée en M...
    Je pense que dans de bonnes approximations (Gauss...), le stigmatisme temporel (si je puis dire) est vérifié.

    Merci pour ta réponse coincoin en tout cas .
    Cogito ergo sum.

  15. #12
    duschnok

    Re : principe de fermat

    Il me semble que vous avez deux minimums locaux, donc deux trajectoires pour les rayons lumineux dans le cadre de l'optique géométrique.

    Ca ne me pose pas problème : il est possible d'avoir deux images pour une même source (par exemple avec un miroir : tu vois l'objet directement et à travers le miroir)

    ou encore , une situation qui colle plus avec ce que vous racontez: si vous êtes myopes, vous pouvez prendre vos lunettes à bout de bras et regarder des détails à l'extrême limite du verre. Vous verrez qu'ils sont dédoublés, une image à travers le verre et une image en passant juste à côté.

    On a bien deux minima globaux du chemin optique, pour deux images... no pb

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  17. #13
    mamono666

    Re : principe de fermat

    Je vais tourner ma question initial d'une autre manière:

    le principe de fermat nous dis que les photons suivront les extrema du chemin optique. En particulier ceux que je met dans mon schema (le milieu 1 ayant un indice beaucoup plus faible que celui du milieu 2).

    Mais meme si les deux chemins sont suivis:
    quel est le chemin le plus probable et pourquoi?

    merci
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  18. #14
    Dafra

    Re : principe de fermat

    Citation Envoyé par mamono666 Voir le message
    Je ne comprend pas trop, dans le cas du mirage, on a un objet particulier: un objet diffusant qui renvoie la lumière dans toutes les directions.
    Tu dois parler de mirage gravitationnel. Dans le cas des bons vieux mirages du désert, pas besoin de corps diffusant.
    L'air qui est près du sol est réchauffé par celui-ci (car le sable est très chaud), ce qui fait que l'indice de réfraction est plus faible près du sol que loin au-dessus. Pour gagner du temps, le rayon de lumière qui vient du ciel et qui veut arriver dans ton oeil a intérêt à dévier de la ligne droite : il se courbe pour passer près du sol, et quand il remonte pour arriver à ton oeil, tu vois un rayon bleu (couleur du ciel) qui vient du sol, et tu crois voir de l'eau.

  19. #15
    mamono666

    Re : principe de fermat

    Citation Envoyé par Dafra Voir le message
    Tu dois parler de mirage gravitationnel. Dans le cas des bons vieux mirages du désert, pas besoin de corps diffusant.
    L'air qui est près du sol est réchauffé par celui-ci (car le sable est très chaud), ce qui fait que l'indice de réfraction est plus faible près du sol que loin au-dessus. Pour gagner du temps, le rayon de lumière qui vient du ciel et qui veut arriver dans ton oeil a intérêt à dévier de la ligne droite : il se courbe pour passer près du sol, et quand il remonte pour arriver à ton oeil, tu vois un rayon bleu (couleur du ciel) qui vient du sol, et tu crois voir de l'eau.

    oui dans ton cas, les objets diffusant sont les molécules de l'air (diffusion rayleigh).

    Par exemple s'il y a un mirage dans le desert. Un palmier au loin diffusera la lumiere. Le rayon provenant du palmier donc du corps diffusant suit le chemin le plus court et arrive dans mon oeil.

    Mais oui c'est vrai que ce n'est pas forcement un corps diffusant qui est mieu en jeu....
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  20. #16
    PopolAuQuébec

    Re : principe de fermat

    Citation Envoyé par mamono666 Voir le message
    Je vais tourner ma question initial d'une autre manière:

    le principe de fermat nous dis que les photons suivront les extrema du chemin optique. En particulier ceux que je met dans mon schema (le milieu 1 ayant un indice beaucoup plus faible que celui du milieu 2).

    Mais meme si les deux chemins sont suivis:
    quel est le chemin le plus probable et pourquoi?

    merci
    Salut,

    On peut avoir ce même problème en mécanique classique avec le principe de Hamilton ou en RG avec la géodésique : il peut arriver que l'on ait deux chemins (ou même davantage) satisfaisant au principe extrémal et ces deux chemins sont susceptibles d'être suivis. Ce qui déterminera le chemin emprunté n'est pas une question de probabilité, c'est une question de conditions initiales. Dans les principes extrémaux, on fixe la position initiale (et la position finale), mais pas la vitesse (vectorielle) initiale. Le chemin effectivement emprunté dépend à la fois de la position et de la vitesse (vectorielle) initiales. On peut le voir plus facilement en considérant le fait que ces principes extrémaux sont équivalents à des équations différentielles du second ordre. Une équation diff. du second ordre nécessite (habituellement) que l'on spécifie et la position initiale et la "vitesse" initiale pour déterminer une solution unique.

  21. #17
    mamono666

    Re : principe de fermat

    ah ok, donc dans mon exemple, le rayon ira tout droit, mais si je tourne ma source vers le haut alors le rayon sera celui du haut.

    c'est bien cela?
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  22. #18
    PopolAuQuébec

    Re : principe de fermat

    Citation Envoyé par mamono666 Voir le message
    ah ok, donc dans mon exemple, le rayon ira tout droit, mais si je tourne ma source vers le haut alors le rayon sera celui du haut.

    c'est bien cela?
    Oui si tu considères une source de lumière orientée, comme un laser par exemple.

    Par contre pour une source qui émet dans toutes les directions, une partie de la lumière arrivant en B aura suivi la droite AB et une autre partie aura suivi l'autre chemin. Du moins si on analyse la situation dans le cadre de l'électromagnétisme classsique. Dans le cadre de l'électrodynamique quantique, une façon simple serait d'analyser la situation en termes de contributions des divers chemins menant de A à B, mais je dis ça sous toutes réserves, car je ne connais pas suffisamment l'EDQ pour être affirmatif là-dessus. Quelqu'un d'autre pourra confirmer ou infirmer

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  24. #19
    mamono666

    Re : principe de fermat

    ok je comprend mieux maintenant, merci pour vos réponses.
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

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