Question sur le Principe de Fermat (optique)

[justine&coria]

Bonjour,
En optique, je vois en ce moment le Principe de Fermat : "pour aller de A à B, le rayon lumineux prend le chemin le plus rapide" (qui n'est pas nécessairement le plus court).

En TD, nous avons fait un exercice assez bizarre en fait :
- on avait 2 points : A et B tous 2 dans un milieu (1) d'indice de réfraction n₁
- et "en face" de ce milieu (1), il y avait un milieu (2) d'indice de réfraction n₂<n₁ , donc dans lequel la lumière se déplace plus rapidement. [dans la suite de l'exo, on avait un milieu stratifié de "n" strates, mais c'est pas important ici]

Le chemin le plus court pour aller de A à B est bien évidemment la ligne droite qui part de A jusqu'à B.
Mais après des calculs, on a vu, qu'il existe des cas (en faisant varier des angles etc.), où le chemin le plus rapide était celui-ci : le rayon part de A traverse l'interface 1-2, est réfracté de 90° et longe donc l'interface dans le milieu (2) où le rayon va plus vite, remonte en un certain point et atteint B !

Alors, bien évidemment, la lumière ne pense pas, et il faut en fait prendre le problème dans l'autre sens : le but du rayon n'est pas d'aller de A vers B, mais quand on retrace le chemin du rayon qui est allé de A vers B, il a pris le chemin que j'ai énoncé précédemment.

Alors voici ma question : mon prof de TD a dit que si un tel chemin existe, c'est-à-dire que le temps de ce chemin est minimum (plus petit même que le trajet en ligne droite), alors le rayon emprunte ce chemin. (ce qui est conforme avec le Principe de Fermat).

Alors, ça, ça me paraît bizarre: est-ce que la lumière va vraiment changer de direction pour prendre le chemin le plus rapide ?
est-ce que le rayon ne fait pas de chemin direct A vers B ?
Mais alors, si on considère A' appartenant à [AB] et qui est très proche de A, pour aller de A à A', le rayon se propage en ligne droite, et passera donc vers B.

Vous voyez : c'est à n'y rien comprendre (et j'espère que vous m'avez compris avant). Est-ce que quelqu'un pourrait me répondre. Et si possible me donner des exemples qui illustrent le phénomène précédent.

Et merci d'avance, évidemment.
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[zoup1]

Tu as tout à fait raison, le rayon ne pense pas. Et il y aplein de façon de voir ce problème de réfraction. Ce façon de raisonner te permet de déterminer la loi de Snell-Descartes qui te dit comment un rayon incident est réfracté en fonction des indices optique des milieux. Le principe de Fermat répond à la question, par où est passé un rayon issu de A et étant allé vers B. Mais pas (en tout cas pas directement) à la question par où va aller se rayon issu de A avec cette direction...

Il y a encore une autre façon de voir les choses, qui est de se représenter ce rayon (qui n'est qu'une abstraction) comme un onde plane ou mieux tu peux le décomposer comme une série de sources ponctuelle... (c'est ce que l'on appelle le principe de Huygens) le passage d'un milieu à un autre se traduit alors par une différence de vitesse de propagation de ces ondes élementaire et par une modification de la direction de propagation de l'onde résultante.

C'est un peu compliqué et aride dit comme cela mais extrêment riche. Cela permet en particulier de comprendre les phénomènes d'interférence et de diffraction.
Heuresement, il y a des liens avec des illustrations qui disent cela sans doute mieux que moi.
J'en donne un mais, notre ami google en donne des tonnes.
http://www.sciences.univ-nantes.fr/p...e_huygens.html

ca aide ?

[zoup1]

Oups, J'ai lu le message en diagonale... J'ai cru que les points A et B etant dans 2 milieux différents...

[zoup1]

Bon, je recommence alors, mais il n'y a pas grand chose de nouveau...
Le principe de Fermat dit que le chemin que suit la lumière est un extremum de la longueur... En fait la lumière est susceptible de suivre tous les extrema possibl. Dans le cas où les 2 points sont dans le même milieu alors la ligne droite peut aussi être un extrema.
IL y a tout de même une chose qui est troublante qui est que le chemin suivi par la lumière ne correspond pas toujours à un minimum, mais parfois à un extremum...
voici une applet qui montre cela
http://www.univ-lemans.fr/enseigneme...eo/fermat.html
A partir d'un site qui est vraiment bien dans sa globalité...

Ca répond à la question cette fois ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[justine&coria]

IL y a tout de même une chose qui est troublante qui est que le chemin suivi par la lumière ne correspond pas toujours à un minimum, mais parfois à un extremum...

Merci beaucoup zoup1. C'est cette phrase qui m'a permis de comprendre.
En fait, dans le cours, le prof ne parle pas (ou n'a pas encore parlé) d'extremum, mais que de minimum.

Si j'ai bien compris, la lumière suit le chemin qui correspond à un extremum. Le rayon peut donc suivre :
- le chemin AB en ligne droite qui correspond à un extremum : c'est pas le minimum, puisqu'il existe un chemin plus court, mais c'est bien un minimum local,
- ou le chemin un peu plus complexe que j'ai expliqué dans mon précédent message, qui est le minimum (dans des conditions particulières).

Donc, si j'"oriente" le rayon lumineux de A vers B (en prenant un laser par exemple), il ira de A vers B en ligne droite, même s'il existe un chemin plus court.
Et si j'ai une source de lumière, la lumière prendra les 2 chemins possibles et ces 2 seuls !!

Est-ce bien ça ? En tout cas, c'est beaucoup plus clair dans ma tête.

Merci beaucoup.

PS : Au fait, j'ai beaucoup cherché sur google, mais je voyais pas la réponse à ce que je me demandais.

[zoup1]

Merci beaucoup zoup1. C'est cette phrase qui m'a permis de comprendre.
En fait, dans le cours, le prof ne parle pas (ou n'a pas encore parlé) d'extremum, mais que de minimum.

les cas correspondant à un maximum sont assez rare...

Si j'ai bien compris, la lumière suit le chemin qui correspond à un extremum. Le rayon peut donc suivre :
- le chemin AB en ligne droite qui correspond à un extremum : c'est pas le minimum, puisqu'il existe un chemin plus court, mais c'est bien un minimum local,
- ou le chemin un peu plus complexe que j'ai expliqué dans mon précédent message, qui est le minimum (dans des conditions particulières).

Donc, si j'"oriente" le rayon lumineux de A vers B (en prenant un laser par exemple), il ira de A vers B en ligne droite, même s'il existe un chemin plus court.
Et si j'ai une source de lumière, la lumière prendra les 2 chemins possibles et ces 2 seuls !!

Est-ce bien ça ? En tout cas, c'est beaucoup plus clair dans ma tête.

OUi c'est cela, enfin, il en prendra plein d'autres, mais ceux qui vont de A vers B sont uniquement ceux qui corrspondent à un extremum.

PS : Au fait, j'ai beaucoup cherché sur google, mais je voyais pas la réponse à ce que je me demandais.

Google est notre ami, mais parfois il est plus facile de trouver des trucs que l'on connait déjà...

[Chip]

Il me semble que la question initiale mérite d'être creusée :

En TD, nous avons fait un exercice assez bizarre en fait :
- on avait 2 points : A et B tous 2 dans un milieu (1) d'indice de réfraction n1
- et "en face" de ce milieu (1), il y avait un milieu (2) d'indice de réfraction n2<n1 , donc dans lequel la lumière se déplace plus rapidement. [dans la suite de l'exo, on avait un milieu stratifié de "n" strates, mais c'est pas important ici]

Le chemin le plus court pour aller de A à B est bien évidemment la ligne droite qui part de A jusqu'à B.
Mais après des calculs, on a vu, qu'il existe des cas (en faisant varier des angles etc.), où le chemin le plus rapide était celui-ci : le rayon part de A traverse l'interface 1-2, est réfracté de 90° et longe donc l'interface dans le milieu (2) où le rayon va plus vite, remonte en un certain point et atteint B !

Ce qui est décrit ici correspond-il réellement à une situation physique? Ce serait l'effet Goos-Hänchen (associé à la propagation d'une onde évanescente)? Je n'en suis pas persuadé...

[BioBen]

Je me suis posé exactement la même question en cours d'optique : si l'on suppose 2 milieu d'indice n1 et n2 l'un à coté de l'autre (n1 à gauche de n2) avec n1>n2. Deux point A et B dans le milieu d'indice n1, et un miroir dans le milieu n2 orienté vers la gauche bien sûr.

On met un laser en A pointant vers B : existe une valeur de n1 et de n2 pour lesquels le chemin le plus court (au niveau temporel) est celui passant par le milieu n2, en se reflechissant sur le miroir, puis passant du milieu n2 à n1 pour finalement arriver en B.

Alors ? Existent-ils des valeurs pour n1 et n2 pour lesquels on ait un tel parcours ? Si c'est le cas, alors c'est bigrement contre-intuitif !

[Chip]

BioBen, ton exemple ne me semble pas vraiment contre-intuitif. Pourquoi ne pourrait-il pas y avoir de rayon partant de A, passant de 1 à 2, se réfléchissant sur le miroir puis passant de 2 à 1 et arrivant en B? Il ne s'agit pas nécessairement du chemin le plus bref -- ce n'est pas ce que dit le principe de Fermat -- mais d'un chemin stationnaire.

Par contre un rayon se propageant sur de longues distances à l'interface entre deux milieux (mais du côté de bas indice) pour finalement repartir vers le milieu à haut indice... dit comme ça, ça ressemble à l'effet Goos-Hänchen, mais ça n'en a il me semble pas toutes les caractéristiques et je ne pense pas que ce soit, en toute généralité, une situation physique réalisable. Alors je me demande où est l'"erreur" dans cette situation?

[Floris]

Hum, je ne connait pas du tout le sujet, mais une question me vien tout de même, esque la même chose existen en méquanique ondulatoire, enfin ic on y est non, Mais je veux dire, peut'on avoir la même chose avec une onde méquanique? Enfin c'est très probablement une question insencé de ma part, désolé dans ce cas. Merci encore.

[Chip]

peut'on avoir la même chose avec une onde méquanique?

L'équivalent du principe de Fermat pour la mécanique classique c'est le principe de Maupertuis. Si je ne dis pas de bêtise (je ne crois pas ) ces deux principes peuvent se déduire, dans la limite des petites longueurs d'ondes, des équations de propagation de l'optique ondulatoire et de la "mécanique ondulatoire".

Bon, personne ne voit pour la question initiale dans laquelle le principe de Fermat semble poser problème? J'aimerais bien comprendre un peu mieux cette histoire. Est-ce l'approche 'optique géométrique' (puisque le principe de Fermat s'applique à ce domaine) qui est mise en défaut ici? Bien sûr les ondes évanescentes et l'effet Goos-Hänchen ne sont pas prévues par l'optique géométrique, mais ce sont des effets assez "fins" et pouvant passer inaperçus. Par contre la situation envisagée dans le message initial n'est pas un effet "fin" : il semble que le principe de Fermat prévoit l'existance d'un trajet lumineux qui est non-physique, ce qui pouvait être constaté à l'époque même de la formulation du principe.

Cela provient peut-être du fait que la distribution d'indice est discontinue? D'habitude la discontinuité ne pose pas de difficulté (par exemple quand on utilise le principe de Fermat pour établir la loi de la réfraction) mais là le rayon considéré doit longer le dioptre, ce qui est une situation singulière. En remplaçant le dioptre par une zone de gradient d'indice, on arrive sans doute à une situation plus physique (proche du phénomène de mirage optique). Quelqu'un a une idée plus précise?

[Chip]

Eh bé? Personne pour le pauvre principe de Fermat? Tout le monde est occupé avec les super-cordes, les quarks, et autres bêtes affreuses?

[deep_turtle]

Ben en relisant attentivement je ne vois pas de quel problème tu parles...

[Chip]

Le problème est le suivant : le principe de Fermat semble prévoir l'existence d'un trajet lumineux qui n'existe pas en réalité. Le trajet est celui évoqué dans le premier message de cette discussion. Il y a une erreur quelque part, j'aimerais savoir où...

[deep_turtle]

Ok au temps pour moi, c'était en effet clair la question...

J'ai fait un petit calcul sur un bout de feuille, et je ne trouve pas que le trajet qui passe par n2 soit extremum. Si je ne me suis pas trompé, le seul chemin extremum qui passe par n2 ne le fait que très marginalement : c'est celui qui se réfléchit à l'interface...

[invite8ef897e4]

Je ne vois pas non plus ou est le probleme... Dans le cas cite, la lumiere empruntera tous les chemins stationnaires (c'est-a-dire minimum, maximum, ou inflectionels) y compris le chemin en ligne droite et le chemin bizaroide !

L'équivalent du principe de Fermat pour la mécanique classique c'est le principe de Maupertuis. Si je ne dis pas de bêtise (je ne crois pas ) ces deux principes peuvent se déduire, dans la limite des petites longueurs d'ondes, des équations de propagation de l'optique ondulatoire et de la "mécanique ondulatoire".

Non tu ne dis pas de betise ! Il me semble que le grand Hamilton avait conjecture qu'un jour la mecanique classique se deduirait d'une mecanique plus fondamentale, de la meme facon que l'otique geometrique se deduit de l'optique ondulkqtoire. (je crois si mes souvenirs sont exacts que cela sort du cours de Basdevant de MQ, cours de l'X, aux editions Ellipse)

[invite8ef897e4]

posts croises...

J'ai fait un petit calcul sur un bout de feuille, et je ne trouve pas que le trajet qui passe par n2 soit extremum. Si je ne me suis pas trompé, le seul chemin extremum qui passe par n2 ne le fait que très marginalement : c'est celui qui se réfléchit à l'interface...

ok, j'ai pas fait de calculs
ca m'interesse vivement, je vais essayer. Il me semble tout de meme que dans le cas extreme ou n1 est beaucoup plus grand que n2, cela devrait marcher ???

[deep_turtle]

Ben à partir du rayon qui se réfléchit, j'ai l'impression que si tu rallonges le chemin parcouru dans n2 tu diminues le chemin optique tant que tu veux, mais tu ne retomberas pas sur un autre extremum.

Encore une fois, je ne garantis pas ne pas m'être trompé dans le calcul...

[invite8ef897e4]

Nommons A' le projete orthogonal de A sur l'interface, de meme B'. Si je regarde les chemins longeant l'interface, faisant un angle sur AA' et BB', je trouve un chemin optique :



a la limite ou n1 est tres grand devant n2 et AB tres grand devant AA', il ne reste que qui varie avexc et me semble bien admettre un minimum en 0.

Cela dit, je ne suis pas certain que ma parametrisation soit suffisante...

[deep_turtle]

En effet, ton calcul me convient, et ce chemin correspond effectivement à un extremum... Je ne sais pas trop quoi en penser, là comme ça... C'est un peu gênant de considérer un rayon qui se propage pile à l'interface des deux milieux, là où le gradient d'indice est infini, le problème vient-il de là ? La nuit porte conseil...

[Chip]

Je suis d'accord avec ton calcul humanino (dans le cas où A et B sont à la même distance du dioptre). Et l'existence du minimum (au moins lorsque n1>>n2) confirme l'intuition : pour ce chemin partant de A on va presque "le plus vite possible" au milieu de bas indice, on s'y propage, et on ressort au niveau de B' pour rejoindre B. Le problème est peut-être parmi les réserves que j'ai faites dans le message 11... j'aimerais bien savoir, ça me turlupine.

[deep_turtle]

Bon, après deux minutes de réflexion, je n'ai pas l'impression que la discontinuité que tu avais évoquée dans ce message précédent, chip, soit à l'origine di problème, car si on remplace l'interface brutale par un gradient d'indice on se rend compte que le problème persiste...



Sauf que dans ce dernier cas j'accepte le chemin suivi, c'est le même que dans les mirages... Donc c'est pt'êt bien la discontinuité le problème finalement...

DEep-turtle, super cohérent dans ses messages...

[chaverondier]

Il me semble que la question initiale mérite d'être creusée :

En TD, nous avons fait un exercice assez bizarre :
- on avait 2 points : A et B tous 2 dans un milieu (1) d'indice de réfraction n1
- "en face" de ce milieu (1), il y avait un milieu (2) d'indice de réfraction n2 < n1, donc dans lequel la lumière se déplace plus rapidement.

Le chemin le plus court pour aller de A à B est bien évidemment la ligne droite qui part de A jusqu'à B. Mais il existe des cas où le chemin le plus rapide est celui-ci :

le rayon part de A traverse l'interface 1-2, est réfracté de 90° et longe donc l'interface dans le milieu (2) où le rayon va plus vite, remonte en un certain point et atteint B !

Le principe de Fermat semble prévoir l'existence d'un trajet lumineux qui n'existe pas en réalité. Il y a une erreur quelque part, j'aimerais savoir où...

A mon avis, l'erreur est la suivante. Le principe de Fermat est implicitement associé à un principe variationnel dont la fonction intégrée est l'inverse de la vitesse de la lumière dans le milieu traversé. On cherche certes le chemin qui minimise la durée t(A,B) du parcours de la lumière entre un émetteur A et un absorbeur B c'est à dire le chemin de A à B qui minimise l'intégrale
.
Toutefois cette façon globale de présenter les choses cache le fait que le principe de Fermat est en réalité de nature locale.

En effet, le chemin choisi par la lumière pour aller de A en B doit tout le temps minimiser l'intégrale de la durée locale de parcours entre deux points voisins P1 et P2 situés n'importe où sur le chemin suivi par la lumière pour aller de A à B (et non pas seulement minimiser l'intégrale de la durée globale de parcours pour aller de A à B).

Au contraire, la solution proposée pour atteindre plus vite de point B situé dans le milieu 1 d'indice 1 (en partant d'un point A situé lui aussi dans ce milieu) en longeant le dioptre plan séparant le milieu 1 du milieu 2 (d'indice de réfraction n2 < n1) est un minimum global de l'intégrale de chemin allant de A à B. Elle ne satisfait donc pas aux équations locales découlant du problème variationnel implicitement associé au principe de Fermat. A mon avis, c'est pour cette raison que la solution proposée est physiquement incorrecte.

Bernard Chaverondier

[deep_turtle]

Parenthèse (utile ou pas, je ne sais pas) :

L'angle que fait le rayon en entrant dans n2 pour le trajet "bizarre", est d'après le calcul d'humanino exactement égal à l'angle de réfraction limite... marrant.

Fin de la parenthèse, désolé chaverondier de t'avoir coupé je faisais que passer...

[Chip]

En effet, le chemin choisi par la lumière pour aller de A en B doit tout le temps minimiser l'intégrale de la durée locale de parcours entre deux points voisins P1 et P2 situés n'importe où sur le chemin suivi par la lumière pour aller de A à B (et non pas seulement minimiser l'intégrale de la durée globale de parcours pour aller de A à B).

Je ne suis pas sûr que ce soit ça. À mon avis le problème vient plus de la discontinuité ou des limites du modèle géométrique. Il n'est pas incorrect d'énoncer le principe de Fermat sous forme "globale". Lorsqu'on trouve un chemin global stationnaire, cela implique qu'il l'est aussi de façon locale. Et c'est effectivement le cas pour le chemin proposé, mis à part éventuellement ce problème de discontinuité (qui fait qu'on doit longer le dioptre, ce qui amène quelques difficultés lorsqu'on doit envisager des chemins 'voisins'). Mais comme dit au-dessus on peut remplacer cette discontinuité pour un gradient borné, et le "paradoxe" me semble subsister, au moins jusqu'à un certain point (on a alors un bête phénomène de mirage comme le rappelle deep_turtle).

[Chip]

Parenthèse (utile ou pas, je ne sais pas) : L'angle que fait le rayon en entrant dans n2 pour le trajet "bizarre", est d'après le calcul d'humanino exactement égal à l'angle de réfraction limite... marrant.

Très bonne remarque, et en effet c'est logique puisque dès qu'on envisage un rayon d'incidence moindre (la même moins epsilon), il va se propager à incidence rasante dans le milieu 2.

Je suis étonné de ne jamais avoir entendu parler de la configuration que nous envisageons, qui pose manifestement problème (reste à savoir exactement pourquoi).

[chaverondier]

Il n'est pas incorrect d'énoncer le principe de Fermat sous forme "globale". Lorsqu'on trouve un chemin global stationnaire, cela implique qu'il l'est aussi de façon locale.

Mince. Tu as raison.

Mais comme dit au-dessus on peut remplacer cette discontinuité pour un gradient borné, et le "paradoxe" me semble subsister, au moins jusqu'à un certain point (on a alors un bête phénomène de mirage comme le rappelle deep_turtle).

Ben ma foi, tout bien réfléchi pourquoi pas. Dès qu'on a éliminé le cas problématique d'une discontinuité franche, il doit pouvoir être possible de faire ressortir en direction du point B le rayon qu'on a fait rentrer dans le milieu 2 moyennant une variation appropriée d'indice de réfraction ?

Bernard Chaverondier

[Chip]

Mais comme dit au-dessus on peut remplacer cette discontinuité pour un gradient borné, et le "paradoxe" me semble subsister, au moins jusqu'à un certain point (on a alors un bête phénomène de mirage comme le rappelle deep_turtle).

En fait non, je rejoins deep-turtle et ce que vient de répondre chaverondier, dès qu'on remplace la discontinuité par un gradient d'indice, il n'y a plus de problème ni de "paradoxe" pour l'optique géométrique : le trajet que donne le principe de Fermat existe et ne pose pas de difficulté particulière. Par contre ce trajet n'est pas nécessairement un trajet que peut réellement suivre la lumière, la vraie. Mais ça ce n'est pas une surprise puisque sa nature ondulatoire ne lui permet pas de se propager selon un rayon (sans extension latérale), notamment dans ce milieu de gradient élevé.

Donc à mon sens le "paradoxe" pour le principe de Fermat vient de la discontinuité de l'indice, et est levé pour l'optique géométrique dès que l'on supprime la discontinuité. Par contre le chemin trouvé lorsque le gradient est encore très élevé n'est pas un chemin réellement emprunté par la lumière, du fait de sa nature ondulatoire. Il faut attendre que le gradient soit "raisonnable" pour que l'optique géométrique marche bien, dans cette situation.

[hedron]

Bonjour à tous.

il semble que le principe de Fermat prévoit l'existance d'un trajet lumineux qui est non-physique

Voilà ce que je pense qu'il va se passer: le rayon qui arrive sur l'interface selon l'angle limite de réfraction commence à longer cette interface. A partir de ce moment là, à chaque instant, il peut quitter cette interface (en partant avec le même angle mais réfléchi). Chacune de ces trajectoires est en effet physique par le ppe de Fermat. Donc le rayon a une certaine probabilité de quitter l'interface à chaque instant. On obtient un pinceau. L'intensité du rayon qui reste sur l'interface va décroître de façon exponentielle le long de l'interface. Je suis prêt à parier que la longueur de demi-vie est proportionelle à la longueur d'onde du rayon.

[Chip]

Voilà ce que je pense qu'il va se passer: le rayon qui arrive sur l'interface selon l'angle limite de réfraction commence à longer cette interface. A partir de ce moment là, à chaque instant, il peut quitter cette interface (en partant avec le même angle mais réfléchi). Chacune de ces trajectoires est en effet physique par le ppe de Fermat. Donc le rayon a une certaine probabilité de quitter l'interface à chaque instant. On obtient un pinceau. L'intensité du rayon qui reste sur l'interface va décroître de façon exponentielle le long de l'interface. Je suis prêt à parier que la longueur de demi-vie est proportionelle à la longueur d'onde du rayon.

Tu te places dans le cadre de l'optique géométrique (1) ou dans le cadre de la lumière réelle (2)? Dans le premier cas (1) il y a une discontinuité dans la situation envisagée qui t'empêche visiblement d'utiliser le principe de Fermat (cf message 28), donc je ne vois pas à quoi ton raisonnement correspond. Dans le second cas (2) (auquel le principe de Fermat ne s'applique pas rigoureusement) la description que tu fais ne correspond pas à un effet réel (en clair : ça marche pas ).

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Je crois que l'explication donnée en #28 est correcte; la difficulté est qu'il y avait deux problèmes rassemblés en un :

- la distribution d'indice discontinue empêche l'utilisation du principe de Fermat dans la situation envisagée
- lorsqu'on rend la distribution continue, le trajet donné par le principe de Fermat n'est pas un trajet que peut réellement suivre la lumière (tant que le gradient d'indice est très élevé), du fait de sa nature ondulatoire

il y avait de quoi être troublé...