Lien entre la loi de Coulomb et la masse du photon

[invite913b5934]

Bonjour,

J'ai lu récemment dans un ouvrage très respectable (le Jackson en l'occurence) que la décroissance en 1 / r2 du champ créé par une charge ponctuelle est liée à la nullité de la masse du photon.

J'ai beau retourner mes connaissances dans tous les sens, je ne parviens pas à me l'expliquer.

Quelqu'un aurait-il une explication à me fournir?

Merci d'avance
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[Coincoin]

Salut,
Je ne connais pas ton niveau, mais il paraît qu'en théorie quantique des champs on peut retrouver la loi de Coulomb à partir du propagateur du photon de masse nulle. Si le photon avait une masse, on aurait un potentiel de Yukama, avec une décroissance exponentielle (faisant intervenir la masse du photon) qui viendrait s'ajouter à la décroissance en 1/r.

[Karibou Blanc]

mais il paraît qu'en théorie quantique des champs on peut retrouver la loi de Coulomb à partir du propagateur du photon de masse nulle. Si le photon avait une masse, on aurait un potentiel de Yukama, avec une décroissance exponentielle (faisant intervenir la masse du photon) qui viendrait s'ajouter à la décroissance en 1/r.

c'est précisément ca. cf page 121 et 125 du Peskin

[Gwyddon]

Salut,

Je te propose de le voir d'une façon (trompeusement) plus simple, sans faire appel à tout l'arsenal de la théorie quantique des champs pour calculer l'amplitutude de diffusion coulombienne.

Soit un champ classique de spin 0, ce qui décrit l'électromagnétisme scalaire par exemple (ie j'oublie ici qu'un champ électromagnétique est vectoriel, ce point n'étant pas essentiel pour le raisonnement). L'équation qui le décrit est alors

où est le laplacien.

m est alors la masse du champ.

Si on se place dans un cas statique, on enlève la dérivée partielle en t, et il nous reste alors



Maintenant supposons le champ sphérique (encore une simplification certes...) et plaçons-nous en coordonnées sphériques. En faisant le changement de fonction

on se ramène alors à l'équation très simple



On reconnaît tout de suite une équation linéaire du second ordre triviale, et on a alors (on oublie le terme +mt, qui diverge à l'infini donc n'est pas physique)

Donc en rassemblant les morceaux :

Si m=0, tu as alors la loi de Coulomb

Maintenant si tu quantifies tout ça, tu dis que le champ est quantifié donc avec des opérateurs de créations et d'annihilations de photons scalaires, et est alors le champ du photon. Donc tu retrouves le lien masse nulle <-> loi de Coulomb


C'est une manière de voir les choses, mais qui est trompeusement simple car :

_ c'est un cas particulier

_ à la fin il faut de toute façon quantifier si tu veux réellement parler de photon

Voilà

[A voir en vidéo sur Futura]

[Karibou Blanc]

C'est une manière de voir les choses, mais qui est trompeusement simple car :

il y a quand meme quelquechose qui me gêne la dedans. Psi est une fonction d'onde, et non un potentiel d'interaction entre deux charges électriques. D'autre part, ton equation de Schoedinger est libre, il n'y a pas d'interaction, ie pas de potentiel (autre que la masse). J'ai donc du mal à voir en quoi cette dérivation a à voir avec la question. A moins quelque chose m'ait échappé.

[Gwyddon]

J'ai bien dit trompeusement simple...

D'abord ici n'est pas une fonction d'onde, mais bien un champ (classique).

Ensuite, tu peux après tout voir une interaction, au premier ordre en développement de l'interaction, comme deux champs libres de particules (fermioniques par exemple) dont le potentiel d'interaction est décrit par le champ scalaire libre que j'ai décrit. Et donc tu retombes sur tes pattes.

Pour être plus clair, ce que j'ai fait c'est (en gros) : je développe ma matrice S avec une interaction de champ classique (ce qui est le cas ici) et qui fait apparaître un terme du genre où est un champ de particules (par exemple un électron) libre.

Ce que j'ai fait ensuite c'est donner l'équation libre vérifiée par le champ d'interaction en me plaçant dans plein de conditions idéales et trop simplificatrices.

[hterrolle]

Salut Gwyddon,

Je m'avance un peut parceque mes competences mathématiques ont des limites.

Si S0(t') peut être consideré comme un electron. Il devient constant et ont devrait pour le mettre devant l'integrale.

En fait je voulais savooir si ont peut extraire une constante de ton equation ?

Je suis surement a coté mais ..... ont ne peut pas être bon dans tous les domaines. Cele demanderais des vies de travail.

[invite913b5934]

Merci à tous,

C'est bien ce que je pensais, seule la théorie quantique des champs peut fournir la réponse que je cherche. Je vais donc devoir potasser un peu (je n'ai pas encore eu la chance, et surtout le courage, de m'y attaquer).

Merci Gwyddon pour ta tentative d'explication rapide, malheureusement elle ne me semble pas si évidente à comprendre que ca.

Ce mystère, passionant somme toute, me demandera donc un peu d'acharnement avant d'en comprendre le sens.

Que vive la science !

[invitea774bcd7]

Un bon article de revue sur ce sujet --> Tu, Luo and Gillies, Rep. Prog. Phys., vol. 68, pp. 77 (2005)

[Gwyddon]

Merci Gwyddon pour ta tentative d'explication rapide, malheureusement elle ne me semble pas si évidente à comprendre que ca.

Pas de quoi mais effectivement l'échange qu'on a eu avec Karibou (d'ailleurs que penses-tu de mon dernier post ?) prouve que la compréhension profonde ne vient pas avec ma (très trompeuse) simplification, désolé

Ce mystère, passionant somme toute, me demandera donc un peu d'acharnement avant d'en comprendre le sens.

Mais tu as l'air motivé et passionné, donc

Si S0(t') peut être consideré comme un electron. Il devient constant et ont devrait pour le mettre devant l'integrale.

En fait je voulais savooir si ont peut extraire une constante de ton equation ?

En effet tel que je l'ai présenté tu peux, mais généralement le champ d'interaction dépend du temps. Là j'ai fait ensuite une simplification très grossière en le supposant statique.

[Thwarn]

Bonjour,

J'ai entendu dire que l'invariance de jauge de l'EM impliquait la masse nulle du photon, quelqu'un pourrait m'expliquer cela?

Merci,

[Karibou Blanc]

J'ai entendu dire que l'invariance de jauge de l'EM impliquait la masse nulle du photon, quelqu'un pourrait m'expliquer cela?

C'est vrai, en théorie des champs, il n'existe pas de terme de masses pour les champs de jauge qui soit invariant de jauge. Plus généralement, le champ de jauge intervient dans le lagrangien via des dérivées covariantes (sous la transformation de jauge) uniquement, ainsi il est impossible d'obtenir un potentiel (termes de masse et/ou d'auto-interaction) pour le champ de jauge. Plus précisément, la seule quantité covariante de jauge (cad la seule brique à partir de laquelle on peut construire un lagrangien invariant de jauge) est le tenseur Fuv qui est construit à partir de dérivées du champs, alors qu'un potentiel (et donc un terme de masse) ne contient pas de dérivée.

[Deedee81]

Bonjour,

J'ai une explication très intuitive de
ce rapport entre masse de la particule
transmettant l'interaction et la portée
de l'interaction, en physique
quantique.

Mais ne prenez pas mon explication pour argent
comptant. Elle est de moi. Je ne l'ai tiré
ni de la théorie des champs ni d'un auteur quelconque.
Et je n'ai pas essayé de le justifier avec
la théorie des champs.
Il se peut donc que je sois totalement
à coté de la plaque et que je trouve
les bons résultats "par hasard". N'hésitez
pas à me taper sur les doigts si c'est le cas.

L'analyse se base sur :
- Le principe d'incertitude de Heisenberg appliqué
au temps et à l'énergie
- La relativité

Une interaction se produit entre deux particules
lorsqu'elles échangent une particule virtuelle, "vecteur
de force". Par exemple le photon pour
l'interaction électromagnétique ou un
boson intermédiaire (massif) pour l'interaction faible.

Une particule virtuelle ne peut apparaitre que
si elle n'existe "pas trop longtemps". Plus exactement,
si la particule existe un temps t, alors l'incertitude
sur sa durée de vie sera au pire .
Et le principe d'incertitude nous dit que :


Donc, l'incertitude sur l'énergie E, autorise
l'apparition d'une particule virtuelle de l'ordre
de cette énergie (c'est vraiment intuitif !)

Maintenant, la particule virtuelle s'échange
entre deux particules espacées de la distance L.
Même si elle va très vite, disons à la vitesse
de la lumière ou presque, le temps d'échange
sera au moins :
t = L/c

Et son énergie sera égale à son énergie cinétique
plus son énergie au repos mc².

Cela veut dire que si la particule virtuelle est
massive, il faut au moins :


Avec les relations précédentee, on en tire
une portée maximale d'environ :


Prenons maintenant le cas d'une particule virtuelle de masse nulle.
Celle-ci n'ayant pas d'énergie de repos, elle
peut aller "aussi loin" que l'on veut à condition
que son énergie soit suffisament faible.
De plus, on peut estimer (intuitif) que l'énergie
d'interaction sera, au signe près,
grossièrement proportionnelle
à une constante (inconnue) k fois l'énergie
de la particule échangée.

Le potentiel se comportera donc comme
V = kE

Donc :


Donc une force en 1/r².

En espérant à nouveau ne pas donner
ici une explication complètement
fumeuse

[Coincoin]

Euh... ça me paraît foireux
L n'est pas r.

Par contre, il y a des choses intéressantes à voir.
Avec le même genre de raisonnement qu'au début de ton message (où on l'inégalité de Heisenberg n'est qu'un prétexte à faire de l'analyse dimensionnelle), on peut dire que L est la portée maximale de l'interaction véhiculée par la particule de masse m. On retrouve bien ça dans le terme exponentiel de la formule de Yukawa.
Une autre chose est que si tu considères que les particules ne disparaissent pas (ce qui est le cas pour des particules virtuelles de masse nulle dans l'espace libre), alors l'énergie des particules traversant une sphère de rayon r doit se conserver et donc ne pas dépendre de r. Donc, pour compenser le fait que la surface de la sphère croît en r², l'énergie décroît en 1/r². Or, on peut grosso modo dire que l'énergie est égale au carré de l'amplitude, donc l'amplitude décroît en 1/r (tout comme on peut grosso modo sortir un lapin d'un chapeau). Formellement, ce n'est rien d'autre que ce qu'a dit Gwyddon : l'équation de Klein-Gordon pour une masse nulle n'est rien d'autre que l'équation de d'Alembert, c'est-à-dire une équation de propagation sans terme source.

Mais c'est vraiment avec les mains. Comme la discussion entre Gwyddon et Karibou le montre, la justification formelle soulève des difficultés qu'on a allègrement passées sous le tapis.

[Karibou Blanc]

mais effectivement l'échange qu'on a eu avec Karibou (d'ailleurs que penses-tu de mon dernier post ?) prouve que la compréhension profonde ne vient pas avec ma (très trompeuse) simplification

Comme la discussion entre Gwyddon et Karibou le montre, la justification formelle soulève des difficultés qu'on a allègrement passées sous le tapis.

Ca me parait tres interessant malheureusement je n'ai pas le temps aujourd'hui d'approfondir la démarche de Gwyddon. Peut-etre demain, mais je ne veux pas laisser tout ca sous le tapis en tout cas

[Deedee81]

Salut,

Euh... ça me paraît foireux.
L n'est pas r.

Ben, disons "séparés par la distance r".
Ca revient au même (oui, oui, j'ai abusé
des notations )

Par contre, il y a des choses intéressantes à voir.
Avec le même genre de raisonnement qu'au début de ton message (où on l'inégalité de Heisenberg n'est qu'un prétexte à faire de l'analyse dimensionnelle),

Ben oui, évidemment, je n'ai jamais fait
que ça. Comment ne l'ai-je pas vu ! D'ailleurs,
je ne sais pas si tu as eut la curiosité
d'essayer ma "formule de portée" avec
le boson Z, mais ça donne une distance
ridiculement petite
(pratiquement la longueur de Planck !).

Donc, tu as raison : c'est foireux.
Pfffffff.......
OKéééééé ! Qui ne tente rien n'a rien.

Mais c'est vraiment avec les mains. Comme la discussion entre Gwyddon et Karibou le montre, la justification formelle soulève des difficultés qu'on a allègrement passées sous le tapis.

Je te remercie profondément (et les autres)
pour tes explications.
J'ai plus appris en un jour sur futura qu'en des
années sur d'autres forums.

[Coincoin]

je ne sais pas si tu as eut la curiosité
d'essayer ma "formule de portée" avec
le boson Z, mais ça donne une distance
ridiculement petite

Ça doit donner quelque chose dans les 10^-15 m, c'est-à-dire la taille d'un noyau. Le raisonnement est assez foireux, mais le résultat est robuste : il n'y a pas 36 façons de construire une longueur avec ce qu'on a sous la main et une théorie non-foireuse doit donc faire intervenir cette longueur.

[Deedee81]

Ça doit donner quelque chose dans les 10^-15 m, c'est-à-dire la taille d'un noyau. Le raisonnement est assez foireux, mais le résultat est robuste : il n'y a pas 36 façons de construire une longueur avec ce qu'on a sous la main et une théorie non-foireuse doit donc faire intervenir cette longueur.

Ah ? Aurais-je fais une erreur numérique ?
Bon, c'est pas grave, merci.

Maintenant et à demain,

[Coincoin]

Pour simplifier les calculs, faut savoir que ça fait 197 MeV.fm.