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Double système masse-ressort



  1. #1
    zbod

    Thumbs up Double système masse-ressort

    Bonjour à tou(te)s !

    Mes cours de méca sont déjà à quelques années mais j'aime bien faire de petits exercices que je trouve sur le net.

    Voici le problème :
    On considère une masse m1 de 1 kg suspendue par un ressort de raideur k1 = 3 N/m au plafond. Jusque là, rien d'extraordinaire.
    A cette première masse, on suspend une masse m2 de 1 kg aussi à l'aide d'un ressort de raideur k2 = 2N/m.
    L'ensemble du système est au repos, en position verticale.

    Les conditions initiales sont :
    y1(0) = 1
    y2(0) = 2
    y'1(0) = -2*racine(6)
    y'2(0) = racine(6)

    Le but est de déterminer les équations de mouvements des masses y1(t) et y2(t). Dans ce problème, les masses se déplacent de façon verticale... il n'y a pas d'angle.


    Bon, s'arreter là et demander la soluce serait un peu facile donc j'ai bossé dessus et voici ce que j'obtiens...

    Tout d'abord, j'ai considéré :
    y1(t) = A1.sin(wt)
    y2(t) = A2.sin(wt)
    A1 et A2 étant les amplitudes

    J'en tire les équations suivantes :
    -m1.A1.w2 + (k1+k2).A1 - k2.A2 = 0
    -m2.A2.w2 - k2.A1 + k2.A2 = 0

    Ce qui me donne le système matriciel (pas facile à écrire dans ce message) :
    [[(k1+k2) - m1.w2][-k2]].[A1] = 0
    [[-k2][k2 + m2.w2]].[A2] = 0

    J'en déduis l'équation suivante :

    w4 - [(k1+k2)/m1 + k2/m2].w2 + (k1.k2)/(m1.m2) = 0

    Ce qui, en simplifiant par leurs valeurs, donne :
    w4 - 7w2 + 6 = 0
    Les solutions sont 1 et racine(6).


    Retour aux conditions initiales :
    y1(0) = 1 = A1.sin(0)
    y2(0) = 2 = A2.sin(0)

    Bon, si je ne considère pas la phase ça ne veut rien dire. D'où :
    y1(0) = 1 = A1.sin(fi1)
    y2(0) = 2 = A2.sin(fi2)
    et
    y'1(0) = -2.racine(6) = A1.w.cos(fi1)
    y'2(0) = racine(6) = A2.w.cos(fi2)


    En fonction des valeurs de w, j'obtiens des résultats différents :
    - w = racine(6) >> A1 = A2 = racine(5)
    - w = 1 >> A1 = 5 et A2 = racine(10)

    Ce qui me donne les équations :
    y1(t) = racine(5).sin(t + fi1)
    y2(t) = racine(5).sin(t + fi2)
    ou
    y1(t) = 5.sin(racine(6).t + fi1)
    y2(t) = racine(10).sin(racine6).t + fi2)

    J'ai résussi à trouver les valeurs de fi1 et fi2 dans chaque cas mais sous la forme 2,67794505 par exemple pour fi1 (1ère équation).


    Le site qui propose ce problème n'accepte que les solutions EXACTES sous forme d'expressions.
    On m'a conseillé, pour trouver les équations, de trouver les coordonnées des sinusoïdales dans un repère composé de sin(wt) et cos(wt).
    On m'a parlé des transformées de Laplace...

    Si je vous pose le problème, c'est que je ne sais pas comment traiter l'énoncé suivant les manières qui m'ont été conseillées, mais uniquement via celle que j'ai détaillée.

    Pouvez-vous m'aider svp à utiliser Laplace dans cette application ou, mieux, à déterminer les équations sous leur forme "entière" (exacte) ?

    Merci d'avance.
    Cordialement,
    zbod

    -----


  2. #2
    Jeanpaul

    Re : Double système masse-ressort

    Ton raisonnement n'est pas correct, tu supposes que la 1ère masse oscille à la fréquence w1 et la seconde à la fréquence w2, mais ce n'est pas ça.
    Il faut dire que les 2 masses oscillent avec un mélange de w1 et w2 :
    y1=A1 exp(jw1t) + A2 exp(jw2t)
    y2 = B1 exp(jw1t) + B2 exp(jw2t)
    Les A et B peuvent être des complexes (phases à déterminer). Il faut les trouver.

  3. #3
    zbod

    Re : Double système masse-ressort

    Merci pour ta réponse Jean-Paul.

    Donc si je prends les équations que tu me donnes, et en me servant des conditions initiales, je peux trouver A1, A2, B1 et B2.

    A1 = (racine(2) + 2*racine(6)) / (racine(2) - racine(3))
    A2 = (racine(3) + 2*racine(6)) / (racine(3) - racine(2))
    B1 = (2*racine(2) - racine(6)) / (racine(2) - racine(3))
    B2 = (racine(6) - 2*racine(3)) / (racine(2) - racine(3))

    J'ai considéré :
    w1 = racine(k1/m1)
    w2 = racine(k2/m2)

    C'est marrant, j'ai pas l'impression que mon raisonnement soit bon...

    Est-ce que quelqu'un peut me confirmer que les équations qu'il faut déduire de l'énoncé sont bien :
    m1.y''1 + k1.y1 - k2.(y2-y1) = 0
    m2.y''2 + k2.(y2 - y1) = 0

    Si oui, comment les exploiter pour trouver y1(t) et y2(t) ? Un grand coup de Laplace ?
    Merci d'avance.

  4. #4
    pephy

    Re : Double système masse-ressort

    Citation Envoyé par zbod Voir le message
    m1.y''1 + k1.y1 - k2.(y2-y1) = 0
    m2.y''2 + k2.(y2 - y1) = 0

    Si oui, comment les exploiter pour trouver y1(t) et y2(t) ? Un grand coup de Laplace ?
    Merci d'avance.
    bonsoir
    oui c'est bien la forme (étant entendu qu'il s'agit des mouvements par rapports aux positions d'équilibre)
    on obtient les équations en w en prenant y1=a1.exp(jwt) et y2=a2.exp(jwt)
    (méthode ancienne mais qui marche ,sinon Laplace....j'ai du oublier!)

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