Double système masse-ressort

[invite2e22eaca]

Bonjour à tou(te)s !

Mes cours de méca sont déjà à quelques années mais j'aime bien faire de petits exercices que je trouve sur le net.

Voici le problème :
On considère une masse m₁ de 1 kg suspendue par un ressort de raideur k₁ = 3 N/m au plafond. Jusque là, rien d'extraordinaire.
A cette première masse, on suspend une masse m₂ de 1 kg aussi à l'aide d'un ressort de raideur k₂ = 2N/m.
L'ensemble du système est au repos, en position verticale.

Les conditions initiales sont :
y₁(0) = 1
y₂(0) = 2
y'₁(0) = -2*racine(6)
y'₂(0) = racine(6)

Le but est de déterminer les équations de mouvements des masses y₁(t) et y₂(t). Dans ce problème, les masses se déplacent de façon verticale... il n'y a pas d'angle.


Bon, s'arreter là et demander la soluce serait un peu facile donc j'ai bossé dessus et voici ce que j'obtiens...

Tout d'abord, j'ai considéré :
y₁(t) = A₁.sin(wt)
y₂(t) = A₂.sin(wt)
A₁ et A₂ étant les amplitudes

J'en tire les équations suivantes :
-m₁.A₁.w² + (k₁+k₂).A₁ - k₂.A₂ = 0
-m₂.A₂.w² - k₂.A₁ + k₂.A₂ = 0

Ce qui me donne le système matriciel (pas facile à écrire dans ce message) :
[[(k₁+k₂) - m₁.w²][-k₂]].[A₁] = 0
[[-k₂][k₂ + m₂.w²]].[A₂] = 0

J'en déduis l'équation suivante :
w⁴ - [(k₁+k₂)/m₁ + k₂/m₂].w² + (k₁.k₂)/(m₁.m₂) = 0

Ce qui, en simplifiant par leurs valeurs, donne :
w⁴ - 7w² + 6 = 0
Les solutions sont 1 et racine(6).


Retour aux conditions initiales :
y₁(0) = 1 = A₁.sin(0)
y₂(0) = 2 = A₂.sin(0)

Bon, si je ne considère pas la phase ça ne veut rien dire. D'où :
y₁(0) = 1 = A₁.sin(fi₁)
y₂(0) = 2 = A₂.sin(fi₂)
et
y'₁(0) = -2.racine(6) = A₁.w.cos(fi₁)
y'₂(0) = racine(6) = A₂.w.cos(fi₂)


En fonction des valeurs de w, j'obtiens des résultats différents :
- w = racine(6) >> A1 = A2 = racine(5)
- w = 1 >> A1 = 5 et A2 = racine(10)

Ce qui me donne les équations :
y₁(t) = racine(5).sin(t + fi₁)
y₂(t) = racine(5).sin(t + fi₂)
ou
y₁(t) = 5.sin(racine(6).t + fi₁)
y₂(t) = racine(10).sin(racine6).t + fi₂)

J'ai résussi à trouver les valeurs de fi₁ et fi₂ dans chaque cas mais sous la forme 2,67794505 par exemple pour fi₁ (1^ère équation).


Le site qui propose ce problème n'accepte que les solutions EXACTES sous forme d'expressions.
On m'a conseillé, pour trouver les équations, de trouver les coordonnées des sinusoïdales dans un repère composé de sin(wt) et cos(wt).
On m'a parlé des transformées de Laplace...

Si je vous pose le problème, c'est que je ne sais pas comment traiter l'énoncé suivant les manières qui m'ont été conseillées, mais uniquement via celle que j'ai détaillée.

Pouvez-vous m'aider svp à utiliser Laplace dans cette application ou, mieux, à déterminer les équations sous leur forme "entière" (exacte) ?

Merci d'avance.
Cordialement,
zbod
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[Jeanpaul]

Ton raisonnement n'est pas correct, tu supposes que la 1ère masse oscille à la fréquence w1 et la seconde à la fréquence w2, mais ce n'est pas ça.
Il faut dire que les 2 masses oscillent avec un mélange de w1 et w2 :
y1=A1 exp(jw1t) + A2 exp(jw2t)
y2 = B1 exp(jw1t) + B2 exp(jw2t)
Les A et B peuvent être des complexes (phases à déterminer). Il faut les trouver.

[invite2e22eaca]

Merci pour ta réponse Jean-Paul.

Donc si je prends les équations que tu me donnes, et en me servant des conditions initiales, je peux trouver A₁, A₂, B₁ et B₂.

A₁ = (racine(2) + 2*racine(6)) / (racine(2) - racine(3))
A₂ = (racine(3) + 2*racine(6)) / (racine(3) - racine(2))
B₁ = (2*racine(2) - racine(6)) / (racine(2) - racine(3))
B₂ = (racine(6) - 2*racine(3)) / (racine(2) - racine(3))

J'ai considéré :
w₁ = racine(k₁/m₁)
w₂ = racine(k₂/m₂)

C'est marrant, j'ai pas l'impression que mon raisonnement soit bon...

Est-ce que quelqu'un peut me confirmer que les équations qu'il faut déduire de l'énoncé sont bien :
m₁.y''₁ + k₁.y₁ - k₂.(y₂-y₁) = 0
m₂.y''₂ + k₂.(y₂ - y₁) = 0

Si oui, comment les exploiter pour trouver y₁(t) et y₂(t) ? Un grand coup de Laplace ?
Merci d'avance.

[pephy]

m₁.y''₁ + k₁.y₁ - k₂.(y₂-y₁) = 0
m₂.y''₂ + k₂.(y₂ - y₁) = 0

Si oui, comment les exploiter pour trouver y₁(t) et y₂(t) ? Un grand coup de Laplace ?
Merci d'avance.

bonsoir
oui c'est bien la forme (étant entendu qu'il s'agit des mouvements par rapports aux positions d'équilibre)
on obtient les équations en w en prenant y1=a1.exp(jwt) et y2=a2.exp(jwt)
(méthode ancienne mais qui marche ,sinon Laplace....j'ai du oublier!)

[A voir en vidéo sur Futura]