Petit problème pratique

[invite8f8354d4]

Bonjour, voila je bloque sur un problème qui est :

Pour simplifier, imaginer que j'ai un rouleau de papier toilette (en réalité c'est une rotative pour papier journal) on tire dessus avec une vitesse linéaire de V=9m/s,le rouleau dérouler fait 15000m, on veut l'équation du rayon du rouleau en fonction du temp, on connait le rayon de départ notée Re=0.55m et le rayon minimum du carton qui est Ri=0.05m.

Voila ce que j'ai fait moi :

r(t)=Re-e.T(t)

avec r(t)= rayon du rouleau à l'instant t
T(t)= nombre de tours effectué par le rouleau à l'instant t
e = épaisseur du rouleau

T(t)=t*W(t)
(On multiplie la vitesse à t par son temp pour avoir le nb de tours effectué)

grâce à la formule V=W.r on a W(t)= V/[r(t)*2pi] car W est en tr/s

On a alors r(t)=Re-[e.V.t/r(t)*2pi].

Maintenant je détermine e :

J'écrit l'équation qui traduit cette phrase, la longueur du rouleau est égale au périmétre de tout les rayons du rouleau.

J'obtient alors : 15000=[2pi*Ri]+[2pi*(Ri+e)]+[2pi*(Ri+2e)]+...+[2pi*Re]

S désigne la somme
on a alors la suite 15000=S[2pi(Ri+n.e)]
avec n compris entre n=0 et n=(Re-Ri)/2 (pour avoir n.e=Re)

Alors la je c'est pas trop si on peut le faire ou pas mais je transforme la somme en intégrale ce qui donne :

I désigne l'intégrale
15000=I[2pi(Ri+x.e)] --> 15000/2pi=I(Ri+x.e)

Aprés le calcul de ma dériver j'ai I(Ri+x.e)=(Re²-Ri²)/2e

soit (Re²-Ri²)/2e=15000/2pi d'où e=[(Re²-Ri²)2pi]/15000*2

A.N : je trouve e est environ 63 micromètres j'ai regarder sur internet et la moyenne de l'épaisseur d'un papier journal est de 60 à 80 micromètre donc je suppose que ces calculs sont correct.

On peut alors dire que r(t)=Re-[e.V.t/r(t)*2pi] peut s'écrire sous cet forme :
avec a,b et c connues
a=Re
b=e.V
c=2pi

y=a-(bx/cy) ---> y²=ay-(bx/c) ---> y²-ay+(b/c)x=0

je résoud ce polynôme :
^=(-a)²-4(bx/c)

On va chercher quand t est définie soit tfinal qui est tfinal=15000/V
On a alors r(t) quand t E [0;(15000/9)]

y1=(a+[(-a)²-4(bx/c)]^0.5)/2
l'autre solution n'est pas définie donc

r(t)=(Re+[(-Re)²-4(e.V.t/2pi)]^0.5)/2
Mais quand on trace la courbe sa ne marche pas car on doit trouver au moins les point r(0)=Re=0.55 et r(15000/9)=Ri=0.05

Sa fait 2 jours que j'essaie de résoudre ce problème, je ne c'est pas si tout ce que j'ai fait est bon mais si vous avez des idées ou la solution faites moi s'en part !
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[invite8f8354d4]

Je me suis tromper au moment ou j'ai dit que T(t)=t*W(t) car W(t) n'est pas constant dans le temps il va augmenter quand le papier sera pratiquement dérouler. On a donc T(t)=0.5.t².T''(t)+W0.t+T0 car c'est T''(t)=constante.

On sait que W(t)= V/[r(t)*2pi] donc W0=V/(Re*2pi) car à t le rayon est le rayon initial soit Re.
T0=0 car à l'instant t=0 on a pas bouger donc aucun tours effectués

On sait aussi que W=T''.t+W0, on va chercher l'accélération soit T'' :
T''=(W-W0)/t on sait que quand t=15000/9 on a W=V/(Ri*2pi)
donc T''=[(V/(Ri*2pi))-(V/(Re*2pi))]/(15000/V)
T''=(V²(Re-Ri))/(2pi*Ri*Re*1500)

Soit T(t)=[(V²(Re-Ri)).t²/(2pi*Ri*Re*15000*2)]+[(V.t)/(Re*2pi)]

On a alors notre équation :

r(t)=Re-e.[(V²(Re-Ri)).t²/(2pi*Ri*Re*15000*2)]+[(V.t)/(Re*2pi)]

L'état initial est correct quand on trace la courbe mais l'état final n'est pas correct, si quelqu'un peut m'aider

A.N : r(t)=-4.922*10^-8*t² - 1.64*10^-4*t + 0.55

[invite8f8354d4]

Bon j'ai du nouveau, à partir de la dernière équation que j'ai effectuée, j'ai essayer de trouver l'épaisseur qui donnerait le bon état final soit r(15000/9)=Ri=0.05, en modifiant l'équation je trouve e d'environ 73micromètres, je pense peut être alors que mon équation est bonne mais ma valeur de l'épaisseur est éronné.

[invite8f8354d4]

e environ 76.8micromètres désoler erreur de frappe

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8f8354d4]

Ok c'est bon j'ai trouvé, mon équation est bonne en faites il me sert à rien de déterminer avant l'épaisseur puisque je la détermine quand j'ai l'équation final en changer t à une valeur connu de r(t).

Désoler pour le Post, sans intérêt vu que j'ai fait question réponse :s, mais si vous voyez des erreurs dedans faites m'en part !

[invite897678a3]

Bonjour,

Jolis calculs mais ils est possible de faire plus simple


Je n'utilise que les rayons (noyau et bobine de papier) [avec Pi]
et la longueur totale du papier.

En trois lignes: 62,8 10^-6 pour moi!

[invite8f8354d4]

Ta fait comment pour trouver l'épaisseur s'en passer comme moi par un calcul d'intégrale ?

[invite8f8354d4]

J'avait pas fait attention mais avant de déterminer l'évolution du rayon en fonction du temp, on était censé écrire l'équation différentielle permettant de d'écrire l'évolution du rayon, mais la je vois pas du tout comment la trouver :s

[invite897678a3]

Bonjour,

C'est tout bête:
Si ton papier était découpé en feuilles de 1m de long,
empilées les unes sur les autres, tu pourrais me dire
la hauteur du "bloc" ainsi formé.

En mettant toute ces feuilles bout à bout,
tu auras bien tes 15 000 m.



Section utile de la bobine S = pi (Re²-Ri²)

Sachant qu'une Surface S = Longueur X largeur,

en posant largeur = e (pour épaisseur)

e = S / Longueur


Cela me parîat trop simple.
Chercher l'erreur!

[invite8f8354d4]

Ui je suis d'accord avec toi je trouve comme toi vu que j'avait

e=[(Re²-Ri²)2pi]/15000*2 soit e=(Re²-Ri²)pi/15000

sauf que moi je me complique la tête à passer par un calcul d'intégrale, cependant avec cette épaisseur ma courbe que j'obtient grace à mon équation finale est pas tout à fait correct il y a un petit décalage et avec l'épaisseur de 76.8micro ma courbe est nikel. Je c pas trop comment faire

[invite897678a3]

Bonjour,

...sauf que moi je me complique la tête à passer par un calcul d'intégrale

(pour ma part, j'étais parti jouer avec des avec un ou deux points sur la tête,
car la bobine est animée d'un mouvement uniformément accéléré, mais maintenant
je suis fâché avec les accélérations angulaires!

e=(Re²-Ri²)pi/15000

Mais voui! tout est là!

Soit f(x) l'épaisseur du papier calculé partir d'une bobine pleine
f(x) = (Re²-0.0025)pi/15000








Calcul épaisseur du papier:

f(0,55) = 0.0000628318530718


Ensuite, il n'y a plus de soucis pour avoir la longueur du papier restant en fonction du rayon du rouleau:
On remplace au dénominateur les 15 000 m par 63 microns et on obtient la longueur du papier sur la bobine de rayon x
Soit f(x) la longuer de papier du rouleau à un instant donné



J'ai cherché les valeurs de f(x) pour des rayons diminués de 5 cm à chaque fois.
Excel m'a tracé une jolie courbe; je ne comprends pas comment tu as un décalage de 78 microns.

Par contre, je suis perplexe en regardant le graphe:
je m'attendais à voir la concavité tournée vers les y négatifs.
C'est louche!