Bonjour,
Ne voyant les développements nulle part est-ce que quelqu'un peut me confirmer (avant que je me lance dans les calculs) que l'extension du l'invariance de jauge locale avec:
exp(i*g*alpha)
pour l'équation de Schrödinger est dans le cas de l'équation généralisée de Dirac:
exp(i*g*sigma)
où sigma est une matrice de Pauli (l'exponentielle étant donc dans SU(2)).
Merci d'avance pour vos réponses
euh non ce n'est pas ca. l'invariance de jauge (locale donc) est une invariance par changement de phase (la phase pouvant etre un simple nombre pour U(1) ou une matrice pour un groupe non abélien) et ces transformations sont les memes pour Schrodinger et Dirac.
Que cherches tu à faire ?
Ben au fait j'avais lu dans divers bouquins que l'équation généralisée de Dirac (celle comprenant le spin, le champ magnétique et le potentiel vecteur donc... pas l'autre classique) était invariante dans SU(2) et qu'il s'agissait du groupe avec les exponentielles des matrices de Pauli... voilà... et je voulais faire les développements pour voir ceci.
voilà j'ai retrouvé ma référence:
http://www.sciences.ch/htmlfr/php/cl...ick.php?id=240
page 121 du PDF. Le texte après la relation 9.13.
SU(2) est donc bien le groupe de symétrie de l'équation de Dirac non?
Hello,
Je n'ai pas lu ton texte (désolé la flemme ce soir) mais j'ai comme l'impression que tu confonds invariance de jauge (donc locale) et invariance globale ; et effectivement comme Dirac est relativiste, elle est invariante sous Poincaré global...
Oui pardon... donc on est bien d'accord que pour montrer que l'équation de Dirac est invariante globale il faut passer par SU(2). Soit, le groupe des symétries composées des matrices de Pauli??
oui?non?
Là je suis d'accord
Envoyé par isozv
c'est quoi le rapport entre SU(2) et Poincaré ? je veux dire, hormis le lien entre Lorentz et SU(2)xSU(2)....
par ailleurs, j'ai jeté un oeil au doc que tu as mis en lien et j'ai pas vu mention de SU(2)... ça vient d'où ?
tu appellerais pas "équation de Dirac généralisée" une équation de Dirac dans laquelle la particule est couplée à un champ de jauge non-abélien plutôt qu'à un abélien ? en clair, tu aurais pas vu un truc sur la QCD plutôt qu'un truc sur l'électromagnétisme ? cf ça par exemple...
Si si regard après la relation (9.13). Il est bien écrit je cite "Nous avons déjà noté que le groupe SU(2) est le groupe de symétrie de cette théorie...".
Et l'équation (9.13) est le langrangien de l'équation de Dirac
Je pensais à ce lien que tu cites, pas plus.
c'est quoi le rapport entre SU(2) et Poincaré ? je veux dire, hormis le lien entre Lorentz et SU(2)xSU(2)....
j'avais cherché page 121 [comme tu le disais]... pas après cette équation...
et donc c'est bien dans le chapitre "symétrie de jauge non-abélienne" : ce n'est plus de l'électromagnétisme, mais (par exemple) de l'interaction forte ou de la QCD [si le groupe est SU(3), cf plus loin dans le texte que tu cites]...
si tu lis ce qui est écrit juste au-dessus de l'équation que tu indiques, l'auteur parle de vecteur à 8 composantes. Ton équation ne s'applique donc plus à un électron (pour lequel tu as 4 composantes), mais par exemple à un doublet neutron/proton le champ A étant alors associé au "transport de l'isospin" [c'était l'idée initiale de Yang et Mills]. Elle est donc bien du genre Dirac (fermion massif), mais le fait qu'elle ait ou pas une symétrie SU(2) n'est pas avant tout lié au fait qu'on soit passé de Schrödinger à Dirac : c'est lié au fait qu'on remplace le champ électromagnétique A [et sa symétrie U(1)] par un autre champ à plusieurs composantes [et la symétrie associée, SU(2) par exemple]. Mais tu peux très bien faire la même chose [en théorie mais je ne connais personnellement pas de situation physique où c'est utile] en remplaçant dans l'équation de Schrödinger le potentiel électrique par un potentiel "non-abélien".
La symétrie SU(2) invoquée peut donc être vue comme celle qui mélange neutrons et protons (qui forment un doublet de spineurs à 4 composantes, le mélange par cette symétrie se faisant entre les deux doublets mais pas à l'intérieur d'un doublet), et elle n'a rien à voir avec la nature relativiste ou pas de l'équation "avant jaugeationnement"... et pour revenir à ta question initiale, son action sur un spineur à 2 composantes [chaque composante étant elle-même constituée d'un quadruplet de nombres] est décrite par une exponentielle du genre(pour reprendre tes notations) avec une sommation sur l'indice a qui varie de 1 à 3, les trois
mais à ma connaissance on parle pas de symétrie SU(2) si on a un champ massif car ça couple les deux chiralités. Dirac bosse sur les représentations (1/2,1/2) et mélange les 2 SU(2).
