Probabilités et mécanique spatiale

[invitec34570d5]

Bonjour,


J’ai une question sur un problème qui mêle mécanique spatiale et probabilités… Si jamais quelqu’un sur ce forum à des idées sur le sujet, ça m’intéresse.

On considère le mouvement d’un corps en orbite autour d'une planète, par exemple. Ce mouvement peut être décrit par les éléments képlériens ( : demi grand axe, : inclinaison, : excentricité, : ascension droite du noeud ascendant, : argument du périgée, : anomalie vraie). Ce mouvement peut aussi être décrit par des coordonnées cartésiennes (position et vitesse sur les trois axes d’un repère inertiel).
Il existe des formules de passage d’un système de coordonnées à l'autre, mais qui ne sont pas très « sympathiques » en raison notamment du fort couplage des différents paramètres.

Ma question est la suivante : supposons un "mobile parfait" situé en un point de l'orbite à un instant t. Ce mobile est entièrement caractérisé par son jeu d’éléments képlériens ou bien ses coordonnées cartésiennes (compte tenu du fait que l’accélération qu’il subit, issue uniquement de la gravité, est connue). Prenons ensuite un « mobile réel » (représentant un mobile dont ne connait les coordonnées qu'à une certaine précision), c'est à dire dont les coordonnées de position et vitesse suivent des lois normales centrées sur le mobile parfait et d'écart type connu. Quelle est la densité de probabilité, toujours à l’instant t, des paramètres képlériens pour ce « mobile réel » ?

Plus exactement, compte tenu des formules de passage d'un système de coordonnées à l'autre et mes (très) vagues compétences en probas, je ne suis pas capable analytiquement de calculer ces lois, qui vont dépendre d’ailleurs sans doute de la forme de l’orbite, et de la position du mobile sur l’orbite. D'après la simulation, des gaussiennes en cartésien semblent donner des densités assez proche de la gaussienne en képlérien, mais l’inverse semble moins vrai, du moins pour certains cas d’orbite. Je n'ai pas réussi à trouver de références à ce sujet dans la jungle de l'Internet. Je ne demande bien sûr à personne de faire ces calculs, mais si quelqu'un a des références (sur Internet de préférence) à ce sujet, ou des explications/intuitions de ce qui se passe, cela m'intéresserait grandement. Est ce seulement possible de tirer des conclusions générales sur ce problème ?

Remarque : je travaille en fait en orbite quasi circulaire, et j’utilise donc des éléments képlériens « adaptés » , , , (, ) vecteur excentricité et , équivalent à l’anomalie moyenne à une constante près. Je fais cette remarque au cas où le fait d'être en circulaire change quelque chose au problème (mais peut être pas).

Merci pour toute aide que vous pourrez m’apporter sur le sujet !
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[yahou]

De façon générale, si tu as une distribution de proba qui s'écrit dans le système de coordonnées et dans le système de coordonnées , on a:

où est la matrice jacobienne associée au changement de coordonnées.

Par exemple, à 2D, si tu passes des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires, en partant d'une gaussienne isotrope :
,


En général, la nature de la distribution (gaussienne ou autre) n'est pas conservée. Maintenant si la distribution de départ est étroite et loin des points pathologiques (l'origine dans l'exemple), je pense que la gaussienne est conservée en première approximation.
Dans l'exemple, si avec , alors

car la distribution ne prend de valeurs significatives qu'au voisinage de

[invitec34570d5]

Merci pour ton aide.
Je vais essayer de voir si je peux mettre ça sous forme de changement de coordonnées (parce que la forme des équations de passage que j'ai sous les yeux ne le permet pas facilement), si c'est possible.

Je pense bien que les distributions ne sont pas conservées, mais j'espérais pouvoir voir qu'elles se transformaient en "quasi-gaussiennes" (mon but étant de pouvoir tirer des conclusions faciles sur l'intervalle où se situe 99% de la probabilité par exemple, comme sur une gaussienne)...

Je vais continuer à faire tourner les méninges...

Merci en tout cas pour ta réponse !