Observables qui commutent

[invitea76c2cfb]

Bonjour,

J'ai dans mon cours le théorème suivant :

Si deux obsversables A et B commutent, il existe un système complet (base hilbertienne de H) constitué de vecteurs propres communs à A et B.
Et la réciproque est également vraie.

J'ai cherché à faire la démo de ce théorème et de sa réciproque mais en vain...

Merci beaucoup d'avance.
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[invite420f3ca6]

Salut
Je viens d'étudier ce théorème dans mon cours de mécanique quantique, (et d'ailleurs il est très utile !!) mais la démonstration n'y est pas donnée. Par contre dans le livre de Cohen-Tannoundji (livre de référence en mécanique quantique), tu pourras trouver au chapitre "outils mathématiques", la démonstration complète de ce théorème (en tout cas elle y est dans ma version).
Voilà, bonne lecture !!

[invitea76c2cfb]

D'accord merci beaucoup je posais la question car j'ai déjà deux bouquins en plus du cours et qu'il n'y en a pas un qui pose la démonstration.

S'il y avait possibilité de m'expliquer la démarche à suivre au moins pour la réciproque du théorème ça serait sympa.

Merci d'avance.

[invite88ef51f0]

Salut,
La réciproque me paraît le plus simple. Soit A et B tes observables, a_i et b_i les valeurs propres et e_i les vecteurs propres associés (qui sont les mêmes pour A et B par hypothèse). Alors pour n'importe quel vecteur x, tu peux le décomposer sur la base des e_i (par hypothèse) : . Maintenant calculons ABx : . Or x_i, a_i et b_i sont des scalaires donc commutent joyeusement. Donc . Donc AB=BA.

Bon, c'est fait comme un por...euh physicien.

[A voir en vidéo sur Futura]