commutateur des observables P et Q en MQ

[gatsu]

Bonjour,

J'aimerais savoir si il existe un moyen de retrouver la valeur du commutateur sans utiliser les expressions de ces operateurs dans les differentes représentations et ?

merci d'avance pour vos reponses
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[deep_turtle]

Tout dépend comment tu définis les choses. En général, la règle de commutation que tu indiques fait partie de la définition de ces opérateurs...

Quand tu écris l'état , ce que tu veux dire c'est "l'état qui est vecteur propre de l'opérateur position avec la valeur propre ". Et tu ne peut pas le faire avant d'avoir défini ce qu'est l'opérateur position !!

[mariposa]

Bonjour,

J'aimerais savoir si il existe un moyen de retrouver la valeur du commutateur sans utiliser les expressions de ces operateurs dans les differentes représentations et ?

merci d'avance pour vos reponses

Oui les relations de commutation sont la transcription des crochets de Poisson de la mécanique classique.

[gatsu]

ok....je vais donc reformuler ma question:

En fait je me demandais d'ou venaient les expressions des operateurs R et P respectivement dans les representations et , puis en cherchant dans le cohen-tannoudji je suis tombé sur le complement E du chapitre 2 qui répondait à ma question (en n'utilisant que du calcul formel) en généralisant à tout operateurs Q et P verifiant .
Ensuite dans le chapitre 3, il est dit que comme R et P verifient (notamment) la relation de commutation précisée plus haut, ils ont les memes propriétés que les opérateurs P et Q du complement E et particulierement au niveau de leurs expressions en représentation ou .
Il est egalement precisé que les relations canoniques de commutation entre R et P ont été démontrées dans le chapitre 2.....mais une fois rendu au chapitre 2, on voit que le commutateur
est calculé en utilisant les expressions de R et P en representation ...du coup j'essaie de trouver une justification de la valeur de ce commutateur pour que cela soit clair dans ma tête (pour qu'il y ai un point de depart au raisonnement)mais je n'en trouve pas et donc je suis completement perdu si vous pouviez m'éclairer sur ce sujet ça serait très sympa.

j'espere ne pas vous avoir trop embrouillé en tout cas merci d'avance pour vos reponses !

[A voir en vidéo sur Futura]

[mariposa]

ok....je vais donc reformuler ma question:

En fait je me demandais d'ou venaient les expressions des operateurs R et P respectivement dans les representations et , puis en cherchant dans le cohen-tannoudji je suis tombé sur le complement E du chapitre 2 qui répondait à ma question (en n'utilisant que du calcul formel) en généralisant à tout operateurs Q et P verifiant .
Ensuite dans le chapitre 3, il est dit que comme R et P verifient (notamment) la relation de commutation précisée plus haut, ils ont les memes propriétés que les opérateurs P et Q du complement E et particulierement au niveau de leurs expressions en représentation ou .
Il est egalement precisé que les relations canoniques de commutation entre R et P ont été démontrées dans le chapitre 2.....mais une fois rendu au chapitre 2, on voit que le commutateur
est calculé en utilisant les expressions de R et P en representation ...du coup j'essaie de trouver une justification de la valeur de ce commutateur pour que cela soit clair dans ma tête (pour qu'il y ai un point de depart au raisonnement)mais je n'en trouve pas et donc je suis completement perdu si vous pouviez m'éclairer sur ce sujet ça serait très sympa.

j'espere ne pas vous avoir trop embrouillé en tout cas merci d'avance pour vos reponses !

Si je comprends tes références au Cohen tu as l'air de dire que rien n'est démontré. Le raisonnement est circulaire. oui, non?

[gatsu]

en effet mariposa je trouve que c un peu "le chat qui se mort la queue" c'est pour ça que je vous demande.

[invite8ef897e4]

Ben en fait, il me semble qu'il n'y a pas vraiment de justification a cette correspondance, sinon qu'elle marche extraordinairement bien ! C'est du point de vue de certaines personnes le postulat le plus important de la mecanique quantique : pour quantifier un systeme physique possedant un equivalent classique, on prend le crochet de Poisson classique de variables conjuguees, et on le remplace par un commutateur quantique. S'il n'existe pas d'equivalent classique pour le systeme considere, il est necessaire de postuler directement le commutateur des variables conjuguees.

En partant de la on peut tout redemontrer, par exemple l'equation de Schrodinger ! Evidemment, ce n'est pas tres satisfaisant, parce que l'equation de Schrodinger a ete decouverte avant la formulation de la MQ avec ce principe de correspondance. Neanmoins, tu verras plus tard en theorie quantique des champ que, dans le formalisme canonique, on postule sans arret de telles relations de commutations, donc il n'est pas inutile d'accepter des le depart que c'est ce processus qui est essentiel.

[mariposa]

en effet mariposa je trouve que c un peu "le chat qui se mort la queue" c'est pour ça que je vous demande.

En fait la seule démonstration que je connaisse c'est :

1- Ecrire en physique classique l'équation d'évolution d'une quantité A (r,p) quelconque. on trouve:

dA/dt= :{A,H}

où H est l'hamiltonien.

2- On écriten en MQ l'équation d'évolution de valeur moyenne de A
qui donne en gardant les opérateurs (donc sans représentations):

dA/dt = -i.h[A,H]

De cette expression on en déduit que les opérateurs de MQ ont les propriétés des crochets de Poisson de la mécanique classique.

d'ou [R,P] =i.h

CQFD

[deep_turtle]

Je suis d'accord avec ton exposé du raisonnement, mais c'est pas un CQFD j'ai l'impression. C'est la "quantification canonique", une manière parmi d'autre de créer des observables quantiques à partir d'observables classiques, mais les collègues qui font de la physique mathématiques suivent une voie un peu différente : ils prennent des opérateurs qui vérifient d'autres relations que celles-ci et essaient de voir si ça peut donner des phénomènes physiques intéressants et/ou observables...

[mariposa]

Je suis d'accord avec ton exposé du raisonnement, mais c'est pas un CQFD j'ai l'impression. C'est la "quantification canonique", une manière parmi d'autre de créer des observables quantiques à partir d'observables classiques, mais les collègues qui font de la physique mathématiques suivent une voie un peu différente : ils prennent des opérateurs qui vérifient d'autres relations que celles-ci et essaient de voir si ça peut donner des phénomènes physiques intéressants et/ou observables...

J'ai écrit çà de mémoire. j'ai été voir du coté de Landau. il fait quelquechose du même genre mais çà ma parait confu!

De Toute façon il ne peut y avoir de démonstrations absolues (cela voudrait dire que MQ se déduit de la MC!), il faut mieux considérer çà comme un axiome de MQ comme le dis implicitement humanino.

d'ailleurs la physique de Newton est facilement fondée sur des axiomes.

Comme c'est un étudiant qui a posé la question je lui conseillerai de ne pas perdre trop de temps là dessus.

[gatsu]

merci beaucoup pour vos reponses elles m'ont été tres utiles !!

[Karibou Blanc]

Salut,

C'est la "quantification canonique", une manière parmi d'autre de créer des observables quantiques à partir d'observables classiques, mais les collègues qui font de la physique mathématiques suivent une voie un peu différente : ils prennent des opérateurs qui vérifient d'autres relations que celles-ci et essaient de voir si ça peut donner des phénomènes physiques intéressants et/ou observables...

Moi je ne connais que deux approches pour quantifier une théorie classique : la quantification canonique, celle que tu cites qui fait correspondre à un crochet de poisson classique, un commutateur quantique entre opérateurs agissant dans un espace de Hilbert, et la quantification dite fonctionnelle dans laquelle on exprime les amplitudes de probabilités à l'aide de l'intégrale de chemin (il n'y a plus vraiment d'opérateur à proprement parlé). De quelles autres façons parles-tu ? Quels sont ces phénomènes observables ?