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[MPSI] quels sont les quaternions qui commutent avec tous les autres ?




  1. #1
    Romain-des-Bois

    [MPSI] quels sont les quaternions qui commutent avec tous les autres ?

    Bonjour,

    tout est dans le titre
    si on écrit un quaternion A sous forme matricielle :

    A= a.I + b.J + c.K + d.L (où I, J, K et L € M2(IR) sont les matrices représentant i, j , k , l

    On veut savoir quels sont les quaternions qui commutent avec tous les autres.

    De manière intuitive, je dirais seulement les A = a.I

    Comment les trouver sans être obligé d'écrire :
    quelque soit A, AB=BA et dérouler ... ?

    merci

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    rvz

    Re : [MPSI] quels sont les quaternions qui commutent avec tous les autres ?

    Citation Envoyé par Romain29
    On veut savoir quels sont les quaternions qui commutent avec tous les autres.

    De manière intuitive, je dirais seulement les A = a.I

    Comment les trouver sans être obligé d'écrire :
    quelque soit A, AB=BA et dérouler ... ?
    Tu dis juste que pour A = J, A = K, et A = L, ça doit commuter. Ca ne te fait que trois équations : Du coup, ça ne m'étonnerait pas que tu aies raison.
    De plus, je crois qu'il existe des relations simples du type JK = L, KJ = -L, des trucs de ce type, non ? Tout ça pour te dire que tu n'as pas vraiment besoin d'écrire tout ça matriciellement...

    __
    rvz

  4. #3
    Romain-des-Bois

    Re : [MPSI] quels sont les quaternions qui commutent avec tous les autres ?

    je te remercie


  5. #4
    Quinto

    Re : [MPSI] quels sont les quaternions qui commutent avec tous les autres ?

    Les quaternions qui commutent avec tous les autres sont les réels.
    Pour le montrer, suppose le contraire, alors il existe a,b,c,d avec b,c,d non tous nuls tels que

    (a+ib+jc+kd)i=i(a+ib+jc+kd)
    (a+ib+jc+kd)j=j(a+ib+jc+kd)
    (a+ib+jc+kd)k=k(a+ib+jc+kd)

    développe et arrive à une contradiction.
    A+

  6. #5
    Romain-des-Bois

    Re : [MPSI] quels sont les quaternions qui commutent avec tous les autres ?

    ta démo par l'absurde est bien plus rapide que celle que je proposais ! je te remercie Quinto.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    homotopie

    Re : [MPSI] quels sont les quaternions qui commutent avec tous les autres ?

    Ca se fait sans calcul :
    l'immersion des réels (les a.I) son trivialement dans le centre (éléments qui commutent).
    S'il existe Z non réel dans ce centre, soit <I,Z> le plus petit sous-corps engendré par I et Z.
    Ce corps est commutatif donc distinct de l'ensemble des quaternions.
    Soit Y un quaternion n'appartenant pas à <I,Z>, les éléments I, Z, Y, YZ sont libres (et donc forment une base réelle des quaternions).
    En effet, si 0=aI+bZ+cY+dYZ=(aI+bZ)+(c+dZ)Y avec c ou d distinct de 0 en divisant par c+dZ on obtient que Y est dans <I,Z> (contradiction) Donc c=d=0 et par la même a=b=0.
    Il existe Y tel que les quaternions =<I,Z,Y>, càd que les quaternions sont engendrés par 3 éléments qui commutent donc est commutatif (contradiction)

    PS : ceci n'est qu'à titre d'info, ne présente pas cette version, ça sentirait le "pompage".
    Dernière modification par homotopie ; 21/02/2006 à 11h54.

  9. #7
    Romain-des-Bois

    Re : [MPSI] quels sont les quaternions qui commutent avec tous les autres ?

    Citation Envoyé par homotopie
    Ca se fait sans calcul :
    l'immersion des réels (les a.I) son trivialement dans le centre (éléments qui commutent).
    S'il existe Z non réel dans ce centre, soit <I,Z> le plus petit sous-corps engendré par I et Z.
    Ce corps est commutatif donc distinct de l'ensemble des quaternions.
    Soit Y un quaternion n'appartenant pas à <I,Z>, les éléments I, Z, Y, YZ sont libres (et donc forment une base réelle des quaternions).
    En effet, si 0=aI+bZ+cY+dYZ=(aI+bZ)+(c+dZ)Y avec c ou d distinct de 0 en divisant par c+dZ on obtient que Y est dans <I,Z> (contradiction) Donc c=d=0 et par la même a=b=0.
    Il existe Y tel que les quaternions =<I,Z,Y>, càd que les quaternions sont engendrés par 3 éléments qui commutent donc est commutatif (contradiction)

    PS : ceci n'est qu'à titre d'info, ne présente pas cette version, ça sentirait le "pompage".
    Je ne copierai pas ceci parce que ce n'est pas mon style et que ça me serait inutile (et non parce que ça sentirait le pompage !).
    J'ai fait ma démo à partir de ce que m'a dit Quinto.

    merci quand même

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  11. #8
    homotopie

    Re : [MPSI] quels sont les quaternions qui commutent avec tous les autres ?

    Salut Romain 29,

    excuse-moi de t'avoir froissé, je reconnais que ma phrase était maladroite.
    C'est en chat échaudé que je parlais (pas sur ce forum) mais j'ai déjà eu la triste expérience qu'un étudiant modifie sa copie suite à une méthode plus "élégante", c'est subjectif, que je lui ai présenté. Cette méthode a été logiquement refusée par son enseignant, avec raison, mais l'étudiant me l'a repproché bien que je lui avais dit que ce que je lui présentais n'était pas ce qui était attendu de lui.
    Ne te connaissant pas, j'ai préféré évité la même aventure mais j'ai été très maladroit dans mes termes je le reconnais encore une fois et je te présente mes excuses.

    Cordialement

  12. #9
    Romain-des-Bois

    Re : [MPSI] quels sont les quaternions qui commutent avec tous les autres ?

    Citation Envoyé par homotopie
    Salut Romain 29,

    excuse-moi de t'avoir froissé, je reconnais que ma phrase était maladroite.
    C'est en chat échaudé que je parlais (pas sur ce forum) mais j'ai déjà eu la triste expérience qu'un étudiant modifie sa copie suite à une méthode plus "élégante", c'est subjectif, que je lui ai présenté. Cette méthode a été logiquement refusée par son enseignant, avec raison, mais l'étudiant me l'a repproché bien que je lui avais dit que ce que je lui présentais n'était pas ce qui était attendu de lui.
    Ne te connaissant pas, j'ai préféré évité la même aventure mais j'ai été très maladroit dans mes termes je le reconnais encore une fois et je te présente mes excuses.

    Cordialement
    Tout va bien alors,
    je ne t'en suis aucunement gré... et tu as bien fait au contraire de préférer prévenir que guérir.

    Merci pour ta démo

  13. #10
    rvz

    Re : [MPSI] quels sont les quaternions qui commutent avec tous les autres ?

    En tout cas, c'est une très jolie preuve, homotopie

    __
    rvz

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