Démonstration des densités d'énergie en électromagnétisme

[herman]

Bonsoir,

J'aimerai savoir comment démontrer les formules des densités d'énergie en électromagnétisme.
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[invite6ef70fbb]

bonjour ..
la densité volumique de l nergie electromagnetique se decompose en 2 temes
le premier relatif a l energie electrique l autre a celle magnetique..
dans un condensateur l energie electrique volumique est (εE²/2)
et dans une bobine on trouve que la densité volumique de l energie magnetique est B²/(2 μ)...
c ca ce ke vous chrchiez j croi...
bonne chance

[gatsu]

Bonsoir,

J'aimerai savoir comment démontrer les formules des densités d'énergie en électromagnétisme.

Tu pars des équations de Maxwell dans le vide :

(1)

(2)

Tu fais le produit scalaire de (1) avec et (2) avec ; tu obtiens :

(1)'

(2)'

En se rappelant que


on trouve

(1)''

où on reconnait une loi de conservation du type :



Pour que notre soit une densité d'energie, il faut diviser l'equation (1)'' par et on trouve alors :


et

dans lesquels on reconnait respectivement la densité d'enrgie EM et le vecteur de Poynting.

Après, cette démonstration peut être discutable en termes de justifications que cette quantité est bien l'enrgie au sens conventionnel du terme, auquel cas la theorie classique des champs s'impose à un niveau plus fondamental mais on peut essayer de s'en convaincre malgré tout avec des cas limites et les principes de conservations fondamentaux que ne doit pas violer la théorie électromagnétique.

[herman]

Merci Linfini mais je les connaissais déjà, c'était les démonstrations que je cherchais.

Merci Gatsu, oui effectivement la démonstration est un peu discutable, ne serait que la manière de trouver le résultat final en divisant par un terme comme ça ^^.

La démonstration de mon cours est un peu bizarre, je donne celle avec la densité d'énergie électrique :




th d'Ostrogradski



est une surface.

et on obtient We =

Et ensuite, approximation, on dit que V est proportionnel à 1/R, E à 1/R² et Sigma à R² donc proportionnel à 1/R et quand R->l'infini donc la première intégrale tend vers 0.

Oui mais, Tau proportionnel à et E² à donc on pourrait aussi faire tendre le résultat vers 0 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[herman]

erf j'ai loupé l'édition, j'ai cité à la place :/

[Gwyddon]

Merci Linfini mais je les connaissais déjà, c'était les démonstrations que je
Et ensuite, approximation, on dit que V est proportionnel à 1/R, E à 1/R² et Sigma à R² donc proportionnel à 1/R et quand R->l'infini donc la première intégrale tend vers 0.

Oui mais, Tau proportionnel à et E² à donc on pourrait aussi faire tendre le résultat vers 0 ?

Hello,

Tu as oublié un détail fort important : la première intégrale est une intégrale fermée de surface, alors que la deuxième est une intégrale de volume. Donc l'argument essentiel est de dire que sur la surface (à l'infini) tout est nul donc l'intégrale sera nulle, ce qui n'est pas le cas pour l'intégrale de volume a priori puisque tout le volume contribue.

Exemple à 1 dimension : l'intégrale de surface de la fonction inverse sur est fini et vaut -1, son intégrale de volume est par contre infinie car et

[gatsu]

Merci Gatsu, oui effectivement la démonstration est un peu discutable, ne serait que la manière de trouver le résultat final en divisant par un terme comme ça ^^.

La multiplication par une constante à la fin sert juste à ce que la quantité conservée ait la dimension d'une energie, ensuite comme il n'y a pas douze milliard de trucs qui se concervent en général (pour un champ EM ) : la charge, l'energie et l'impulsion ba... y a plus qu'à dire que c'est la densité d'enrgie et le vecteur de Poynting .
Mais bon je comprends que ça ne plaise pas à tout le monde .

Et ensuite, approximation, on dit que V est proportionnel à 1/R, E à 1/R² et Sigma à R² donc proportionnel à 1/R et quand R->l'infini donc la première intégrale tend vers 0.

Oui mais, Tau proportionnel à et E² à donc on pourrait aussi faire tendre le résultat vers 0 ?

Non justement, parce que l'evaluation de la première intégrale se fait sur les bords d'une sphère (c'est le plus pratique) de rayon infini, fixe au cours de l'intégrale alors que la deuxième est une intégrale de volume dans lequel le rayon va varier et une dépendance en 1/R par exemple lorsque R << 1 va énormément contribuer à l'energie.

EDIT : grillé par Gwyddon

[herman]

Ah mais je n'avais jamais pris conscience de ça moi ^^.

Effectivement je ne risquais pas de prendre en compte ce détail, merci vous deux .

[herman]

enfin je m'emporte un peu vite car je ne vois pas comment on obtient l'intégrale de la surface dans ton exemple Gwyddon, pour le volume c'est classique mais pour la surface...

[Gwyddon]

enfin je m'emporte un peu vite car je ne vois pas comment on obtient l'intégrale de la surface dans ton exemple Gwyddon, pour le volume c'est classique mais pour la surface...

La surface, c'est "le bord". Donc dans un exemple 1d, le volume c'est tout un intervalle, sa surface est constituée des deux extrémités de l'intervalle (je parle ici d'un volume connexe pour faire simple).

Dans un exemple 2d, la surface sera le périmètre, le volume sera l'aire.

Dans un exemple Nd, la surface sera l'hypersurface (N-1)d, le volume sera le volume Nd.

[herman]

Ok merci, tout ceci a un nom ?