[Prépa] Propulsion d'une Bille par un Ressort

[invite43788259]

Bonjour,

Je dois traiter un exercice de Méca.

On comprime un ressort de raideur k, en contact (non fixé) avec une bille d'acier de masse m. x(t) est la position de la bille à l'instant t.

J'étudie la partie "poussée" du ressort (c-a-d avant que la bille se désolidarise du ressort)

J'ai trouvé l'equa diff associée :

x'' + (k/m)x = 0

Solutions : x(t) = x₀cos(wt) --> avec w = racine (k/m)

On me demande de trouver la vitesse v₀ de la bille quand elle passe à la position d'équilibre du ressort.

A savoir que j'ai :

Constante de raideur : k =10³ N.m^-1
Longueur à vide du ressort : l₀ = 10cm
Longueur initiale du ressort : l₁ = 3 cm
Masse de la bille : m = 50 g

J'ai essayé de dériver x(t) pour obtenir v(t) = -x₀w sin(wt)

Et je ne sais ps quoi faire après, je ne connais pas "t" quand la bille passe en O' (quand le ressort est dans sa position d'équilibre)

Merci de m'éclairer, là je sombre dans la folie (Merci Newton )
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[invite1a7050d5]

Je suis pas sur de moi mais j'essais :

Tu ne connais pas t mais x, au moment ou le ressort est en équilibre. Donc l'équation x(t) = x0cos(wt) ne peut pas te donner t ?

Tu en déduit v à l'aide de l'équation v(t) = -x0w sin(wt)

[invite43788259]

Je viens d'essayer et ça bloque, j'arrive à du arccos(10/3) ce qui est impossible ...

[invite8c514936]

Salut,

Comment tu arrives à ce 10/3 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite43788259]

Le 10/3 provient de l₀/l₁

Si on rebascule l'expression on arrive à :

(cos^-1 (10/3)) / racine (k/m) = t(O')

[invite43788259]

Apparemment personne n'a trouvé solution à mon problème :s

Je vais vous soumettre une autre question

Je travaille maintenant dans la phase de "glissement" de ma bille:

La bille n'est plus solidaire du ressort, elle le quitte avec une vitesse de 4,24 m.s-1 environ selon mes calculs.

Il y a des frottements dans le plan horizontal où elle roule (F = -av) avec a un coef positif et v la vitesse ^^

Je ne trouve pas la différentielle associée, et encore moins les solutions (J'ai essayé j'arrive à du x''+(a/m)x'=0

Donc voilà je suis perdu Help

[Flyingsquirrel]

Apparemment personne n'a trouvé solution à mon problème :s

x représente la distance (algebrique) entre la bille et sa position au repos. Du coup tu dois résoudre 0=x₀cos(wt).

Pour la phase de glissement : l'équa diff est bonne. Pour la résolution, il faut la considérer comme du premier ordre en v.

[invite43788259]

Merci pour la question d'avant, mais je trouve t=0 et puis je peux plus avancer

Mais quand tu dis, de premier ordre

C'est à dire faire comme si j'avais : x'+(a/m)x = 0 ??

Mais je trouve pas la constante A devant

(Excusez moi de poser des questions nulle, mais j'ai un gros souci avec les différentielles )

[Flyingsquirrel]

La première annulation du cosinus c'est en pi/2, pas en 0.

Pour l'equa diff, j'ai dit premier en ordre en v : ca veut dire que l'équation x''+(a/m)x'=0 peut aussi s'écrire v'+(a/m)v=0 avec v=x' et là, la constante d'intégration A, tu la connais.

[invite43788259]

Ah oui quel béta je fais ^^

J'ai tenté de résoudre l'histoire de mon 0=x0 cos (wt) avec w=racine(k/m) = 100racine(2)

Et je trouve t = 222,..... ça fait beaucoup !

Là je sèche completement ca rime a rien ce que je trouve...

Pour la différentielle, j'ai essayé avec les v, et j'en arrive a

Ae^-(a/m)x et là je suis déjà perdu :s

[invite43788259]

EDIT: en plus j'avais oublié une force, ya une force de frottement fluide : Ff = -av et une solide de coef Ff=0.2 ca complique tout

[Flyingsquirrel]

L'application numérique est fausse...

Ae^-(a/m)x et là je suis déjà perdu :s

C'est Ae^-(a/m)t et tu connais la vitesse initiale.

Tu n'as plus qu'à le refaire avec la force de frottement solide (ça rajoute juste un terme constant, ça pourrait être pire )

[invite43788259]

Ah oui, j'avais fait effectivement une erreur bête, je trouve t=22ms , c'est nettement mieux.

Je m'applique à v(O') donc : v(O') = - x₀100racine(2) sin(pi/2)

J'arrive à un v = -300racine(2) ce qui me donne -424 , j'ai un facteur -100 en trop quelque part, j'ai beau refaire, là je vois plus xD

J'ai essayé pour la différentielle, j'ai pris : v'+(a/m)v = 4 (avec le frott solide ) j'arrive à (-k₁+k₂)((a/m)Ae^-(a/m)t)

Et là, même problème (A = vitesse au point où la bille quitte le ressort donc 3racine(2) ) mais pour k1 et k2 j'ai pas d'idée

[Flyingsquirrel]

Pour le facteur 100 ben une conversion de centimètre en mètre qui a été oubliée...

Pour la suite, la solution de v'+(a/m)v=0 est v(t)=Ae^-(a/m)t en sachant que t=0 correspond au moment ou la bille quitte le ressort et pas au début de la phase de poussée.

La solution de v'+(a/m)v=4 est la somme de v(t)=Ae^-(a/m)t et d'une solution pariculière de l'équa diff, solution particulière que l'on peut chercher sous la forme d'une constante.

Quoi qu'il en soit, si ton equa diff est du premier ordre, il ne doit y avoir qu'une seule constante d'intégration à déterminer. (deux constantes si second ordre, etc...)

[invite43788259]

Rah les centimètres auront ma peau

Bien bien, pour mon équation différentielle, j'arrive à A=3racine(2) ,c'est ma vitesse initiale (ie quand ma bille quitte mon ressort)

D'où : v(t)=3e^-(a/m)t Ca me parait correct pour l'équation homogène

Mais la solution particulière, j'ai toujours pas compris la méthode (depuis la terminale) pour la trouver, ya pas moyen.

(Excuse moi de faire le boulet à qui il faut tout expliquer, mais apprend moi la méthode (si tu le veux bien ) pour trouver la solution particulière s'il te plait )

[invite43788259]

donc au final je devrais avoir 3racine(2)e(-(a/m)t) - 4/(a/m)

[Flyingsquirrel]

Presque ! La solution particulière c'est +4/(a/m)

Pour trouver une solution particulière, il y a pas mal de méthodes, mais on te donne -en général- la forme sous laquelle tu dois la chercher et tu n'as qu'à remplacer...

Après, si tu n'as aucune indication, il y a des méthodes comme celle de la "variation de la constante" qui permettent de trouver des solutions particulières mais ça devient vite des maths...
En fonction du second membre, on sait aussi que certaines solutions vont marcher : par exemple pour un second membre qui est un polynôme d'exponentielles, on cherche une solution particulière sous la forme d'un polynôme d'exponentielles de même degré... (c'est le cas du second membre constant : on cherche une solution sous la forme d'un polynôme d'exponentielles de degré 0 c'est à dire sous la forme d'une constante)

[invite43788259]

Je crains que j'ai faillit dans mon raisonnemment :s

J'arrive à v(t)=6e^-(a/m)t+2

Mais mon v(0) doit être égal à 4.24 ! Or ici, il est à 6+2 mais ca me plairait qu'il soit à (6)/2 !!!

Je refais et je refais mais je retombe sur la même erreur :s

[Flyingsquirrel]

C'est parce qu'il faut déterminer A en utilisant la solution complète et pas seulement la solution de l'équation homogène ; tu dois trouver le A qui vérifie

[invite43788259]

Ahh oki

Bien bien, j'ai pas mal avancé, j'ai dérivé ma formule de la vitesse

J'obtiens la formule correcte, mais avec une décélération beaucoup trop forte ! j'ai -10,... m.s^-2 ca freinerait ma bille en moins d'une demi seconde oO

J'avoue que la physique et moi ça fait pas loin de 5 ^^