Démonstration de l'équation de Liouville (théorie cinétique)

[invite93279690]

Bonjour,

La réponse est peut être très simple mais je ne la vois pas bien en tout cas !
Y a t il une démonstration du théorème de Liouville qui stipule, en theorie cinétique des gaz (BBGKY hierarchy par exemple) que, pour un système hamiltonien, la densité de probabilité d'être en un point de l'espace des phases d'un système à particules vérifie l'équation :


où correspond à la dérivée totale (particulaire) par rapport au temps.
Je croyais que cela avait un rapport avec le fait que la mesure de Lebesgue dans l'espace des phases est invariante sous le flot hamiltonien mais en fait j'arrive pas utiliser ce résultat pour montrer l'equation de Liouville.

Merci d'avance pour vos réponses ou suggestions !
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[mariposa]

Bonjour,

La réponse est peut être très simple mais je ne la vois pas bien en tout cas !
Y a t il une démonstration du théorème de Liouville qui stipule, en theorie cinétique des gaz (BBGKY hierarchy par exemple) que, pour un système hamiltonien, la densité de probabilité d'être en un point de l'espace des phases d'un système à particules vérifie l'équation :


où correspond à la dérivée totale (particulaire) par rapport au temps.
Je croyais que cela avait un rapport avec le fait que la mesure de Lebesgue dans l'espace des phases est invariante sous le flot hamiltonien mais en fait j'arrive pas utiliser ce résultat pour montrer l'equation de Liouville.

Merci d'avance pour vos réponses ou suggestions !

bonjour,

Je ne suis pas sur de bien comprendre ta question.
.
L'integration de ta densité de probabilité (dépendante du temps en toute généralité) dans l'espace des phases à N particules vaut 1. Et bien entendu la dérivée par rapport au temps vaut zéro.
.
Par contre à l'équilibre thermodynamique cette densité de probabilité est la distribution universelle de Gibbs et donc indépendante du temps et dans ce cas là la dérivée est nulle.
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C'est cette distribution d'équilibre de Gibbs qui est fonction de l'Hamiltonien à N particules

[invite93279690]

bonjour,

Je ne suis pas sur de bien comprendre ta question.
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L'integration de ta densité de probabilité (dépendante du temps en toute généralité) dans l'espace des phases à N particules vaut 1. Et bien entendu la dérivée par rapport au temps vaut zéro.
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Par contre à l'équilibre thermodynamique cette densité de probabilité est la distribution universelle de Gibbs et donc indépendante du temps et dans ce cas là la dérivée est nulle.
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C'est cette distribution d'équilibre de Gibbs qui est fonction de l'Hamiltonien à N particules

Ok j'avais pensé à ça mais ça me semblait un peu "fumeux" comme argument dans le sens que ça fait appel à un volume spécifique (hyper surface d'enrgie constante) de l'espace des phases et pas à un volume quelconque.

[mariposa]

Ok j'avais pensé à ça mais ça me semblait un peu "fumeux" comme argument dans le sens que ça fait appel à un volume spécifique (hyper surface d'enrgie constante) de l'espace des phases et pas à un volume quelconque.

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Je ne comprends toujours pas. Ce que j'ai écrit consiste à dire que la somme de toutes les probabilités done la certitude soit 1. Il n'y a aucune hypothèse physique.
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Ensuite à l'équilibre thermodynamique les densités de probabilité sont à l'évidence stationnaire cad indépendante du temps. Là non plus n'intervient aucune hypothèse comme une hypersurface d'énergie constante: Le système n"est pas a priori isolé, c'est la raison pourlaquelle la distribution de gibbs contient l'énergie libre F.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93279690]

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Je ne comprends toujours pas. Ce que j'ai écrit consiste à dire que la somme de toutes les probabilités done la certitude soit 1. Il n'y a aucune hypothèse physique.

Bon d'accord j'ai compris, il n'y a pas besoin de se restreindre à l'ensemble microcanonique.
La raison pour laquelle je trouvais ce raisonnement bizarre doit être dû au fait que j'ai toujours vu ce théorème utilisé en théorie cinétique des gaz et donc j'ai cru, à tord, que cela avait un lien avec la dynamique sous-jacente, ce qui n'est pas le cas, j'ai été un peu nul sur ce coup

Ensuite à l'équilibre thermodynamique les densités de probabilité sont à l'évidence stationnaire cad indépendante du temps. Là non plus n'intervient aucune hypothèse comme une hypersurface d'énergie constante: Le système n"est pas a priori isolé, c'est la raison pourlaquelle la distribution de gibbs contient l'énergie libre F.

Oui enfin si je parlais de l'ensemble microcanonique c'est parce que c'est le seul ensemble pour lequel on peut montrer (sous certaines hypothèses actuellement encore discutables), via la dynamique microscopique, que c'est l'unique distribution d'équilibre pour un système à energie constante, pour l'ensemble canonique dans le cas d'une température fixée il ne me semble pas que les choses soient aussi claires.

[invitebfbf094d]

La fonction densité est normalisée à l'unité. Cela signifie que l'écoulement du fluide de probabilité dans l'espace des phases se conserve, ce qui s'écrit localement : , ou encore : ,

Utilise les équations de Hamilton et pour développer et montrer que c'est égale à zéro. Pour cela, se souvenir que l'ordre de deux dérivations successives de H donne le même résulat. L'équation locale de continuité se simplifie alors et devient ou encore en développant : .

[invite9c9b9968]

Bon d'accord j'ai compris, il n'y a pas besoin de se restreindre à l'ensemble microcanonique.
La raison pour laquelle je trouvais ce raisonnement bizarre doit être dû au fait que j'ai toujours vu ce théorème utilisé en théorie cinétique des gaz et donc j'ai cru, à tord, que cela avait un lien avec la dynamique sous-jacente, ce qui n'est pas le cas, j'ai été un peu nul sur ce coup

Hello gatsu,

juste une petite remarque, c'est assez amusant parce que je trouve que tu prends un peu le problème à l'envers

En effet il me semble que tu as le théorème de Liouville d'abord, qui te donne une condition sur les distributions de proba possibles sur l'espace des phases, ensuite en fonction des contraites tu trouves diverses solutions à cette équation de Liouville : ensemble microcanonique, canonique et grand canonique.

[invite93279690]

Hello gatsu,

juste une petite remarque, c'est assez amusant parce que je trouve que tu prends un peu le problème à l'envers

En effet il me semble que tu as le théorème de Liouville d'abord, qui te donne une condition sur les distributions de proba possibles sur l'espace des phases, ensuite en fonction des contraites tu trouves diverses solutions à cette équation de Liouville : ensemble microcanonique, canonique et grand canonique.

Ben non parce que dans ce cas là tu le sorts d'où ton théorème de Liouville ?

[invitebfbf094d]

Pour cela, se souvenir que l'ordre de deux dérivations successives de H donne le même résulat.

Je reviens sur cette phrase qui peut ne pas sembler être très claire.Il faudrait plus tôt dire : l'ordre de deux dérivations successives de H n'influe pas sur le résultat. En d'autres termes dériver H par rapport à p_j puis par rapport à q_j est égale à la dérivation de H par rapport à q_j puis à p_j.

[mariposa]

Hello gatsu,

juste une petite remarque, c'est assez amusant parce que je trouve que tu prends un peu le problème à l'envers

En effet il me semble que tu as le théorème de Liouville d'abord, qui te donne une condition sur les distributions de proba possibles sur l'espace des phases, ensuite en fonction des contraites tu trouves diverses solutions à cette équation de Liouville : ensemble microcanonique, canonique et grand canonique.

Ta remarque est tout à fait exacte. Gatsu a bien inversé l'ordre des choses.
Liouville est un principe général qui exprime la conservation du fluide de probabilité dans l'espace des phases (voir démonstration zapple). Par conséquent la densité locale est en toute généralité dépendante du temps.
;
Cette dernière est indépendante du temps a l'équilibre thermodynamique (principe de Gibbs) et également dans le cadre de la hiaréarchie BBGKY qui s'applique aux gaz en interaction faible et hors d'équilibre thermodynamique moyennant une approximation dite d'affaiblissement des corrélations.

[invite9c9b9968]

Ben non parce que dans ce cas là tu le sorts d'où ton théorème de Liouville ?

Par ce que fait zapple justement, à partir des équations d'Hamilton.

A la fin tu arrives à un truc du style où v est la vitesse dans l'espace des phases, ie

Ensuite avec l'équation de conservation tu as donc ou encore avec les crochets de Poisson (là en fait j'ai juste réécrit le théorème de Liouville obtenu via l'argumentaire de zapple).

Pour finir tu stipules que et est une distribution d'équilibre.

EDIT : euh voilà en fait tout était déjà dit

[invite93279690]

Hello gatsu,

juste une petite remarque, c'est assez amusant parce que je trouve que tu prends un peu le problème à l'envers

En effet il me semble que tu as le théorème de Liouville d'abord, qui te donne une condition sur les distributions de proba possibles sur l'espace des phases, ensuite en fonction des contraites tu trouves diverses solutions à cette équation de Liouville : ensemble microcanonique, canonique et grand canonique.

Ah ok, j'avais pas compris de quoi tu parlais...
Justement j'ai dis que j'avais compris que le theorème de Liouville ne s'appliquait pas qu'à l'ensemble microcanonique. Après faut voir les définitions mais ce que j'appelle ensemble microcanonique ici c'est l'ensemble des microétats du systèmes correspondants à une energie E déterminée, qu'on soit à l'equilibre ou pas a priori. Ensuite c'est la distribution associée à cet ensemble qui va évoluer dans le temps et tendre vers la distribution microcanonique d'equilibre.

[invite9c9b9968]

Ah ok, j'avais pas compris de quoi tu parlais...
Justement j'ai dis que j'avais compris que le theorème de Liouville ne s'appliquait pas qu'à l'ensemble microcanonique. Après faut voir les définitions mais ce que j'appelle ensemble microcanonique ici c'est l'ensemble des microétats du systèmes correspondants à une energie E déterminée, qu'on soit à l'equilibre ou pas a priori. Ensuite c'est la distribution associée à cet ensemble qui va évoluer dans le temps et tendre vers la distribution microcanonique d'equilibre.

Ok alors on est tous d'accord, peace&love

[invite93279690]

Comme je regarde à nouveaux ces histoires de hierarchies et que comme d'ahb je commence à la préhistoire je m'interesse à nouveau à ce problème....

L'integration de ta densité de probabilité (dépendante du temps en toute généralité) dans l'espace des phases à N particules vaut 1. Et bien entendu la dérivée par rapport au temps vaut zéro.

J'insiste finalement pour dire que le fait que la probabilité soit normalisée n'est pas une condition suffisante pour avoir conservation locale de la probabilité (ce qui est normal d'ailleurs) mais seulement globale.
Cela confirme ce que je pensais il me semble ; c'est à dire que l'on doit imposer demblé la conservation de la probabilité quelque soit le domaine considéré (la normalisation sur l'univers tout entier n'étant pas suffisant) et seulement à ce moment là on aura l'equation décrite par zapple.