[L1] La vitesse et l'accélération d'un point mobile

[invitedaf7b98f]

Bonjour,
Voici un exercice que j'ai pioché dans un bouquin de physique.
1) Mouvement rectiligne sinusoïdal
Considérons un point M en mouvement rectiligne sinusoïdal d'amplitude Aet de pulsation µ, le long de l'axe Ox tel que x(t)= A cos (µt + ù)avec ù phase à l'origine.
a) Calculer A et ù sachant que x(0)=0 et x'(t) = -v0
b) soit P le point de coordonnées X=x et Y = x'/µ dans le repère OX, OY.
Quelle est la trajectoire c décrit par le point P(X,Y)? Préciser son sens de parcours, et la nature des points d'intersection de c avec les axes OX et OY.
c) comparer l'accélération a(t) et l'abscisse x(t): que remarque-t-on?

Reponse:

pour la question 1 a) En appliquant les condition de l'énonce, j'obtiens A= v0/µ et ù = pi/2

Pour la question 1b) X(t) = v0/µ cos (µt) et Y= -v0 sin (µt), en géneral on doit écrire Y en fonction de X en éliminant t. mais ici, je n'arrive pas le faire. Pourriez-vous me donner quelques indices s'il vous plaît sans donner de reponses pour que je puisse faire seul. Merci à vous ...
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[invitec053041c]

Bonjour.

Je suis d'accord pour la 1.

Une idée pour se débarasser du temps:
isole cos(µt)=.. et sin(µt)=.., puis élève les 2 équations au carré, tu les ajoutes membre à membre et tu élimines le temps en utilisant que cos²+sin²=1.
Normalement tu n'aurais pas dû enlever les phases à l'origine ù dans les cos et sin, mais ça n'aura pas d'incidence évidemment.
François

[invitedaf7b98f]

Bonsoir,
Merci
cos(µt + ù) = x (t) * µ / v0
sin (µt + ù) = - y(t) / v0
si j'élève au carré cela me donne :
cos²(µt + ù) = (x (t) * µ / v0)²
sin² (µt + ù) = (- y(t) / v0)²
si je fais la somme, j'obtiens 1 = (x (t) * µ / v0)² + (- y(t) / v0)²
(x (t) * µ / v0)² + (- y(t) / v0)² - 1 =0 (je dirais ca ressemble plutôt à une équation du cercle) le souci est que l'équation du cercle se note de la façon suivante (x-a)²+(y-b)²=R² et aussi j'ai toujours les t dans mon équation.

[invitec053041c]

si je fais la somme, j'obtiens 1 = (x (t) * µ / v0)² + (- y(t) / v0)²
(x (t) * µ / v0)² + (- y(t) / v0)² - 1 =0 (je dirais ca ressemble plutôt à une équation du cercle) le souci est que l'équation du cercle se note de la façon suivante (x-a)²+(y-b)²=R² et aussi j'ai toujours les t dans mon équation.

Tu n'as plus de t explicitement, je veux dire que tu as x=fonction de t, et y=fonction de t, mais comme tu n'as plus de t qui n'apparaît dans ton équation, tu peux écrire x(t)=x et y(t)=y.
(une trajectoire est quelque chose d'atemporel).

Tu n'auras pas un cercle à cause du 1/µ qui est devant x² seulement, tu auras en fait une ellpise (x²/a²+y²/b²=1).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

En fait tu m'as induit en erreur dans ton post 1 pour y.

Tu as y(t)=-v0/µ sin(...)
x(t)=v0/µ cos(...)

De là, soit tu vois directement que tu as un cercle, soit tu passes par cos²+sin²=1, donc c'est bien un cercle.

[invitedaf7b98f]

Tu n'as plus de t explicitement, je veux dire que tu as x=fonction de t, et y=fonction de t, mais comme tu n'as plus de t qui n'apparaît dans ton équation, tu peux écrire x(t)=x et y(t)=y.
.

Comment le t peut disparaître? je vois que une trajectoire ne dépend pas de t mais de la position. Je suis vraiment désolé, j'ai du mal à comprendre comment enlevé le t? et puis le mouvement est plutôt circulaire quand je vois le corrigé qui n'est pas détaillé. Merci beaucoup. Je suis vraiment très désolé de vous déranger. Je sais je suis un peu casse pied.

[invitec053041c]

C'est bien un cercle, regarde mon post précédent.

Cette histoire de x(t) qui devient x, c'est toute la "subtilité" des courbes paramétrées (que tu as dû voir je pense).
Par exemple, si tu as un point M de coordonnées x(t),y(t) en fonction du temps:

x(t)=2t
y(t)=6t, alors tu peux écrire que pour tout t: y(t)=3.x(t)
La trajectoire globale (indépendante de t) du point M sera l'ensemble des points tq y=3.x (droite).

Ici c'est pareil, tu as quelque chose qui pour tout t est de la forme:

x²(t)+y²(t)=a² , donc la trajectoire est l'ensemble des points (x,y) tq x²+y²=a².

[invitedaf7b98f]

Bonsoir,
Merci
cos(µt + ù) = x (t) * µ / v0
sin (µt + ù) = - y(t) / v0
si j'élève au carré cela me donne :
cos²(µt + ù) = (x (t) * µ / v0)²
sin² (µt + ù) = (- y(t) / v0)²
si je fais la somme, j'obtiens 1 = (x (t) * µ / v0)² + (- y / v0)²
(x * µ / v0)² + (- y / v0)² - 1 =0 .

mais là je ne vois pas d'équation du cercle, je veux dire je ne reconnais pas. merci encore

[invitedaf7b98f]

il y a un autre bout dans cet exo je peux le poster?

[invitec053041c]

mais là je ne vois pas d'équation du cercle, je veux dire je ne reconnais pas. merci encore

C'est normal tu t'es trompé, on te disait plus haut que y=x'/µ et tu n'as pas divisé par µ.

[invitedaf7b98f]

Merci
cos(µt + ù) = x (t) * µ / v0
sin (µt + ù) = - y(t)*µ / v0
si j'élève au carré cela me donne :
cos²(µt + ù) = (x (t) * µ / v0)²
sin² (µt + ù) = (- y(t)*µ / v0)²
si je fais la somme, j'obtiens 1 = (x (t) * µ / v0)² + (- y(t)*µ / v0)²
(x * µ / v0)² + (- y*µ / v0)² - 1 =0 le souci est que l'équation du cercle se note de la façon suivante (x-a)²+(y-b)²=R². Ce qui me gêne c'est : µ / v0 dans x et y

[invitec053041c]

(x * µ / v0)² + (- y*µ / v0)² - 1 =0

(µ/V0)²(x²+y²)=1

x+y²=(v0/µ)², donc R=v0/µ

[invitedaf7b98f]

Ah merci beaucoup pour votre aide. La deuxième partie concerne les formules de Binet. Je vais mettre demain. Merci bonne soirée.

[invitedaf7b98f]

Bonjour,
Pour cette question, Quelle est la trajectoire c décrit par le point P(X,Y)? Préciser son sens de parcours, et la nature des points d'intersection de c avec les axes OX et OY. Il s'agit d'un cercle de centre O et rayon v0 / µ. Le sens de parcours comment je peux le trouver? les points d'intersections? merci