Problène à N corps

[invite7ce6aa19]

Le problème à N corps est un problème réputé non soluble dès que N>2. Et pourtant dans le cadre de la MQ on est confronté sans arrèt à ce problème. La stratégie pour résoudre ces derniers passent par une bonne identification de la nature des problèmes. Voici un ensemble de questions présentées comme un jeu pour comprendre qualitativement les difficultés du problème à N corps. A vous de jouer.





Soit un triangle quelconque PGD

Le but est de comprendre ce qui contribue au potentiel en P (comme potentiel) en maintenant fixées différentes particules en G (comme gauche) et en D (comme droite).

cas1: G: 1électron ----- D: rien

cas2: G: rien--------- D: 1 électron.

cas3:---G:1 électron------D: 1 électron.

cas4: ----G: 1 électron------D: 1 atome d'argon

cas 5:----G: 1 électron------D: 1 molécule d'eau.


cas 6:-----G: 1 atome d'argon-------D: 1 molécule H2O


cas 7:------G: 1 H2O-----------D: 1 H2O

cas 8:-------G:1 atome Argon----D: 1 atome d'argon.


Bien sur l'interet est de justifier sa réponse
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[invitec71b46c5]

moi qui avait eu doute, j ai maintenant la certitude que je n ai rien compris au probleme a N corps
j aurais dit que les 5 premiers contribuent...et les 3 derniers pas..mais y a peut etre une histoire de polarisation qui fait contribuer...je suis sur qu il y a un piege!

[invite7ce6aa19]

moi qui avait eu doute, j ai maintenant la certitude que je n ai rien compris au probleme a N corps
j aurais dit que les 5 premiers contribuent...et les 3 derniers pas

Il faudrait préciser la nature des contribution dans chaque cas.

mais y a peut etre une histoire de polarisation qui fait contribuer...je suis sur qu il y a un piege!

Oui il y a effectivement le problème de la polarisation. La question est comment en tenir compte dans chaque cas. Ce n'est donc pas un piège, encore que.....

[invitea774bcd7]

De quoi parle-t-on ? C'est quoi ce mystérieux « potentiel » en P ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7ce6aa19]

De quoi parle-t-on ? C'est quoi ce mystérieux « potentiel » en P ?

Lorsqu'il ya des corps en G et D ceux-ci sont censés développer un potentiel électrostatique au point P (voir un champ magnétique). Non!
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Mes questions ne sont pas peut-être pas claires.

Par exempla cas 1: l'électron en G (rien en D) développe au point P un potentiel coulombien.
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Les difficultés commencent avec le cas 4.

[invitea774bcd7]

OK, potentiel électrostatique. C'est ce que je voulais savoir

Qu'est-ce que ça a à voir avec le problème à N corps ?

[invite7ce6aa19]

OK, potentiel électrostatique. C'est ce que je voulais savoir

Qu'est-ce que ça a à voir avec le problème à N corps ?

Le problème à N corps commence avec N=2 et les problèmes que je pose sont suggestifs d'un aspect du problème. Il y a vraiment de quoi réfléchir.

[invitebd2b1648]

Bonsoir !

J'ai rien compris, mais c'est un problène avec un N (le correcteur marche-t-il pour les titres ? je ne sais pas, mais je le saurai bientôt ! lol )
Donc je tente une réponse :

cas 1 : on a un gradient de potentiel électrostatique qui s'étend à l'infini donc selon P, on a une valeur bien précise (attention de pas être trop loin pour ne pas que la mesure soit brouillée par le bruit de fond quantique ! lol ) négative puisque électron !

cas 2 : idem, mais çà dépend si l'observateur est droitier, gaucher ou ambidextre voir le cas3 !

cas 3 : Ah ! les 2 électrons se repoussent donc à droite de droite pareil que 1 ou 2 pour à gauche de gauche, mais entre droite et gauche pour ceux qui louche, les lignes de champ se repoussent et on obtient une zone de non droit pour le potentiel électrostatique !

cas 4 : Pareil que le cas 3, a la louche je dirais que le cortège électronique de l'argon apolaire qui est un gaz noble selon la position de la droite croisant la gauche engendre une répulsion prononcée de l'électron célibataire (le pauvre) !

cas 5 : Ah la molécule H₂O est polaire donc selon l'orientation de cette molécule et la position de l'électron, on a soit une attraction constante des lignes de champ du potentiel électrostatique entre les atomes d'hydrogènes, soit une répulsion avec le doublet non liant de l'atome d'oxygène parce que la molécule d'eau n'aime pas se montrer ainsi avec un électron, elle préfère le serrer dans ces bras !

cas 6 : pareil que cas5, mais avec le florilège d'électron entourant l'argon, peut-être coeff de Slater !?

cas 7 : les molécules d'eau polaires s'aiment bien entre elles et formeront une liaison hydrogène le potentiel électrostatique sera : "viens par là" !

cas 8 : les atomes d'argon se regardent bêtement ! bin oui, ils sont neutres !

Je précise que je me suis placé dans les conditions standard de température et de pression si je puis dire ...

Alors ... ais-je compris quelque-chose ??? A vous de me le dire !

[invite7ce6aa19]

Bonsoir !

J'ai rien compris, mais c'est un problène avec un N (le correcteur marche-t-il pour les titres ? je ne sais pas, mais je le saurai bientôt ! lol )
Donc je tente une réponse :

cas 1 : on a un gradient de potentiel électrostatique qui s'étend à l'infini donc selon P, on a une valeur bien précise (attention de pas être trop loin pour ne pas que la mesure soit brouillée par le bruit de fond quantique ! lol ) négative puisque électron !

cas 2 : idem, mais çà dépend si l'observateur est droitier, gaucher ou ambidextre voir le cas3 !

cas 3 : Ah ! les 2 électrons se repoussent donc à droite de droite pareil que 1 ou 2 pour à gauche de gauche, mais entre droite et gauche pour ceux qui louche, les lignes de champ se repoussent et on obtient une zone de non droit pour le potentiel électrostatique !

cas 4 : Pareil que le cas 3, a la louche je dirais que le cortège électronique de l'argon apolaire qui est un gaz noble selon la position de la droite croisant la gauche engendre une répulsion prononcée de l'électron célibataire (le pauvre) !

cas 5 : Ah la molécule H₂O est polaire donc selon l'orientation de cette molécule et la position de l'électron, on a soit une attraction constante des lignes de champ du potentiel électrostatique entre les atomes d'hydrogènes, soit une répulsion avec le doublet non liant de l'atome d'oxygène parce que la molécule d'eau n'aime pas se montrer ainsi avec un électron, elle préfère le serrer dans ces bras !

cas 6 : pareil que cas5, mais avec le florilège d'électron entourant l'argon, peut-être coeff de Slater !?

cas 7 : les molécules d'eau polaires s'aiment bien entre elles et formeront une liaison hydrogène le potentiel électrostatique sera : "viens par là" !

cas 8 : les atomes d'argon se regardent bêtement ! bin oui, ils sont neutres !

Je précise que je me suis placé dans les conditions standard de température et de pression si je puis dire ...

Alors ... ais-je compris quelque-chose ??? A vous de me le dire !

Je m'apercois à travers tes réponses que mon énoncé manque vraiment de précisions:
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Je précise que l'ordre de grandeur des cotés du triangle est de 1 à 2 nm de sorte qu'il n'y ai pas de "contacts" entre les objets (pas de recouvrement de fonctions d'onde en MQ). On prend donc en compte les seulements effets coulombiens.
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Par ailleurs les entités placées en G et D sont fixées (elles ne peuvent être mises en mouvement).

En espérant avoir été plus clair.

[invitea774bcd7]

cas 8 : les atomes d'argon se regardent bêtement ! bin oui, ils sont neutres !

La molécule Ar2 existe. Ils font plus que de se regarder

Le triangle PGD étant quelconque, je peux toujours m'arranger pour qu'il y ait un potentiel non nul à cet endroit

[invitea774bcd7]

J'ajoute que l'électron ainsi que n'importe quelle atome ou molécule, même neutre, génère autour d'eux un champ électrique. Si petit soit-il…

Je ne comprends donc pas trop la question en fait

[invited9d78a37]

bonjour
je ne suis pas expert dans ce domaine mais l'énoncé est troublant. Est-on dans un problème complètement statique?
dans ce cas là ce sont des problème de multipôle, et c'est de l'électrostatique.
Ou alors on considère les électrons des atomes mobiles dans une considération classique de l'atome (modèle de Bohr?) et dans ce cas c'est à s'arracher les cheveux.
bref on ne sait trop comment l'aborder??

[invite7ce6aa19]

J'ajoute que l'électron ainsi que n'importe quelle atome ou molécule, même neutre, génère autour d'eux un champ électrique. Si petit soit-il…

Je ne comprends donc pas trop la question en fait

Comme je n'arrive pas a me faire comprendre, je vais expliquer le style de réponse que j'attendais.
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Les cas 1,2 et 3 sont simples. En P on a un potentiel déterminé par la loi de coulomb. La contribution de 3 découle du principe de superposition dev 1 et 2.

Le cas 4 commence a être plus intéressant. Une réponse tentante serait de répondre que c'est la même chose que le cas 1 puisque on a un atome d'argon neutre. Et bien sur cela est faux, le principe de superposition ne fonctionne pas. car l'atome d'argon est polarisable et donc polarisé par l'électron situé en 1. Par conséquent le potentiel en P est l'addition de la contribution électrostatique de l'électron en G et de la contribution de l'atome d'argon polarisé. C'est là un ingrédient très important du problème à N corps en général.
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pour la suite vous pouvez continuer sur la lancée, tout n'est pas évident.

[invitea774bcd7]

Mais c'est pas ça le problème à N corps

C'est tout simplement résoudre les équations du mouvement de N corps soumis à une force en 1/r^2 (comme la gravitation ou Coulomb). Pour moi, c'est ça en tout cas

[invite7ce6aa19]

Mais c'est pas ça le problème à N corps

C'est tout simplement résoudre les équations du mouvement de N corps soumis à une force en 1/r^2 (comme la gravitation ou Coulomb). Pour moi, c'est ça en tout cas

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Tu le peux le dire ainsi, mais a ce niveau de généralité tu as la garantie de faire du surplace. En fait le problème à N corps se décline en une somme (indéfinie) de stratégies différentes. Il faut donc a chaque contexte trouver la bonne voie d'approche. Si aujourd'hui le problème de la supraconductivité est irrésolu c'est que l'on ne sait pas comment s'y prendre. Par contre l'effet Hall quantique Fractionnaire a ouvert une nouvelle dimension insoupsonnée d'une catégorie de pb à N corps liée à la bidimensionnalité. la physique du solide connait actuellement une révolution silencieuse.
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J'ai ouvert ce fil pour faire réfléchir en douceur sur le problème à 2 corps (1 électron + 1 atome ou molécule). Avec 2 électrons il y a de quoi faire. J'avais donné un cours de DEA de physique de la matière condensée de 10H qui s'intitulait: "la molécule d'hydrogène: une mine de trésor". C'est fou ce que l'on peut faire avec 2 électrons. Encore plus terrible: 1 quark + 1 anti-quark.


j'attends les réponses sur les autres questions.

Question subsidiaire: Qu'est-ce qui permet d'affirmer que l'argon est polarisable?

[invite93279690]

cas1: G: 1électron ----- D: rien

Potentiel electrostatique de l'electron en P

cas2: G: rien--------- D: 1 électron.

Même chose qu'en 1) je dirais

cas3:---G:1 électron------D: 1 électron.

La somme des deux potentiels crée par les deux electrons

cas4: ----G: 1 électron------D: 1 atome d'argon

potentiel de l'electron plus le potentiel de dipole polarisé de l'argon en P

cas 5:----G: 1 électron------D: 1 molécule d'eau.

Potentiel dû à l'electron plus le potentiel dû à la molécule d'eau qui est dû au moment dipolaire permanent de l'eau (je ne sais pas si il va s'y ajouter aussi une contribution induite due à la presence de l'electron par contre).

cas 6:-----G: 1 atome d'argon-------D: 1 molécule H2O

Potentiel dipolaire de l'argon induit par la molécule d'eau via son moment dipolaire intrinsèque plus le potentiel dû à la molécule d'eau.

cas 7:------G: 1 H2O-----------D: 1 H2O

Est ce seulement la somme des potentiels des moments permanents ou bien y a t il des effets induits ?

cas 8:-------G:1 atome Argon----D: 1 atome d'argon.

Potentiel en P généré en G et D via la polarisation inter-induite entre les deux atomes d'Argon (cf. Cohen sur l'interaction de VDW entre deux atomes d'hydrogène).

Question subsidiaire: Qu'est-ce qui permet d'affirmer que l'argon est polarisable?

Comment ça ? tous les atomes ne sont pas polarisables ?

[invite7ce6aa19]

Potentiel dû à l'electron plus le potentiel dû à la molécule d'eau qui est dû au moment dipolaire permanent de l'eau (je ne sais pas si il va s'y ajouter aussi une contribution induite due à la presence de l'electron par contre)

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Bonjour,

Félicitations pour l'ensemble de tes réponses.
Comme mes questions étaient malgré tout incomplètes je rajoute quelques commentaires à tes réponses qui je rappelle sont toutes correctes.

dans le cas 5: Effectivement il faudrait rajouter une contribution depolarisation de l'eau par l'électron. la molécule d'eau n'étant de symétrie sphérique cette polarisation dépend de l'orientation de la molécule d'eau. De plus si j'autorise la rotation de la molécule sur son site il y aura d'abord une orientation de la molécule d'eau dans l'axe GD.

Potentiel dipolaire de l'argon induit par la molécule d'eau via son moment dipolaire intrinsèque plus le potentiel dû à la molécule d'eau.

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Rien à dire pour l'essentiel. Je profite de ce cas pour montrer ce qui est ici un raffinement, mais qui dans d'autres situations est indispensable à prendre en compte.
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A l'ordre "zéro" la molécule polarise l'argon qui acquiert un moment dipolaire. Donc en retour le dipole argon polarise la molécule d'eau. il faut donc recalculer la polarisation de l'argon etc..On a ainsi un problème autoconsistant puique la polarisation de l'atome d'argon dépend de la polarisation de l'eau et la polarisation de l'eau dépend de la polarisation de l'argon. C'est pourquoi dans ce genre de problème on obtient une série géométrique qui suggére l'usage des fonctions de Green. On note que dans ce problème il y a une bonne approximation à l'ordre zéro sur lequel on peut greffer le dévellopement. Souvent on a pas a priori d'approximation à l'ordre zéro.
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Vocabulaire important. Dans ce cas le moment dipolaire de la molécule d'eau a été modifié par des effets de rétroaction. On peut dire que le moment dipolaire a été renormalisé. Ce concept fondamental permet de dire que le potentiel en P
est la somme des dipoles renormalisés de l'eau et de l'argon (on récupère ainsi le principe de superposition). Il est important de comprendre que les objets renormalisés ne possèdent aucune interaction entre eux. C'est pourquoi, malgré l'interaction forte de coulomb des électrons dans un métal ceux-ci sont remplacés par des électrons renormalisés que l'on appelle quasiparticules

Est ce seulement la somme des potentiels des moments permanents ou bien y a t il des effets induits ?

Excatement il y a des dipoles induits qui donnent des contributions supplémentaires. ce qui renvoie au cas précédents.

Potentiel en P généré en G et D via la polarisation inter-induite entre les deux atomes d'Argon (cf. Cohen sur l'interaction de VDW entre deux atomes d'hydrogène).

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Absolument. Du point de la liaison il s'agit ecxatement de VDW. Je ne sais pas comment Cohen traite le problème, mais je conseille fortement de traiter ce problème en terme d'interactions de configurations. Avec bien sur la configuration d'ordre zéro correspondant a 1 électron sur chaque site.
Ce cas est très important car il met en évidence les corrélations dans les fluctuations entre 2 systèmes. Ce peut-être une initiation aux phénomènes microscopiques des transitions de phase.

Comment ça ? tous les atomes ne sont pas polarisables ?

Oui tous les atomes sont polarisables. Ma question était encore une fois de plus mal posée. Ce que je voulais faire dire est que la polarisabilité d'une entité (un atome, un solide, un neutron...) est une déformation qui se calcul a partir du spectre de l'entité. C'est un gros un élément de matrice non diagonal (entre le fondamental et l'état excité) divisé par la différence d'énergie.

Il est important d'avoir ceci a l'esprit pour comprendre que l'atome d'argon est peu polarisable parceque son 1 état excité est loin en énergie (en plus il faut tenir compte des règles de sélection qui tiennent compte de la parité des états).
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Un isolant a grand gap est peu polarisable comparé à un semi-conducteur. De même un métal est fortement polarisable puisque son gap est nul. Que dire de la polarisabilité du vide électromagnétique dont les états excités sont situés à m.c2 du niveau fondamental?