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Formules de Binet en coordonnées polaires



  1. #1
    bolltt

    Red face Formules de Binet en coordonnées polaires


    ------

    Bonjour,
    Il s'agit d'un exercice que j'ai trouvé dans mon fameux bouquin.
    Dans le plan fixe x0y, un point M est reperé par ses coordonnées polaires OM= r(t) et (ux,ur biensur avec des vecteurs) = teta(t)

    a) exprimer la vitesse V (M) et l'accélération a (M) en coordonnées polaires en faisant intervenir dans la base locale Ur, uteta.

    b) Le point M consideré, de masse m est soumis à l'action d'une force de type f=f(r) ur avec des vecteurs, appelée force centrale (passant constamment par le point O). Justifier que r² dteta/dt = C, C étant une constante du mouvement.
    - En posant u=1/r, montrer que dr/dt = -C du/dteta.
    - En déduire les formules dites de binet:
    v² = C² [ (du/dteta)² + u²) et ar = -C² u² (u+d²u/dteta²)

    Reponse:

    Pour la question a)
    on sait que OM = r * ur

    d'où v = dom/dt = r * d uteta / dt * u teta
    a = d²om/dt² = r * d²uteta/dt² * u teta - r * (dteta/dt)² * ur
    PS: les vecteurs sur ur u teta.

    pour la question b) je ne sais pas quoi faire.
    J'aimerai bien que vous me lanciez sur une piste. Merci à vous.

    -----
    Si vous fermez la porte à toutes les erreurs, la vérité restera dehors. [Tagore]

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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : Formules de Binet en coordonnées polaires

    Franchement ce n'est pas une bonne idée d'appeler ur et uthéta les vecteurs unitaires locaux et en même temps u la variable 1/r
    Déjà il faut remarquer que la dérivée de ur par rapport au temps c'est uthéta*dthéta/dr et que la dérivée de uthéta par rapport au temps c'est -ur* dthéta/dt.
    Ensuite en déroulant ton calcul tu dois y arriver.

  4. #3
    bolltt

    Re : Formules de Binet en coordonnées polaires

    en fait ma réponse à la première question est juste? mais je ne sais pas comment faire la question b). Merci
    Si vous fermez la porte à toutes les erreurs, la vérité restera dehors. [Tagore]

  5. #4
    bolltt

    Re : Formules de Binet en coordonnées polaires

    Bonsoir,
    comment je peux aborder la deuxième question? Quelques indices s'il vous plaît. Merci
    Si vous fermez la porte à toutes les erreurs, la vérité restera dehors. [Tagore]

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Jeanpaul

    Re : Formules de Binet en coordonnées polaires

    Non, ça ne va pas et c'est illisible.
    Regarde page 17 de la référence ci-dessous :

    http://books.google.com/books?id=L2_...hlHfxN5b-Xu3LA

  8. #6
    bolltt

    Re : Formules de Binet en coordonnées polaires

    Bonsoir,
    En fait, je ne vois pas qu'est-ce qui est faux. Mon objectif à la fin des deux questions et d'en déduire la formule de Binet donc je ne peux pas l'utiliser pour en déduire.
    Si vous fermez la porte à toutes les erreurs, la vérité restera dehors. [Tagore]

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  10. #7
    Jeanpaul

    Re : Formules de Binet en coordonnées polaires

    v est un vecteur et tu ne donnes qu'une composante, à moins que je lise mal, ce qui est probable.

  11. #8
    bolltt

    Re : Formules de Binet en coordonnées polaires

    Bonsoir,
    Pour v on a qu'une composante, ce qui est normale car dr/dt=0 car le rayon est constant, c'est pour cette raison, il y a qu'une composante
    Si vous fermez la porte à toutes les erreurs, la vérité restera dehors. [Tagore]

  12. #9
    Jeanpaul

    Re : Formules de Binet en coordonnées polaires

    Pourquoi le rayon est-il constant ? Dans le problème de Newton, la trajectoire est plane mais pas circulaire en général.

  13. #10
    bolltt

    Re : Formules de Binet en coordonnées polaires

    bonsoir,
    je pense que le mouvement est circulaire. J'ai vu que des mouvements circulaires pour le moment donc il y a peu de chances que ce soit une trajectoire elliptique. Peut-être je me trompe?
    Si vous fermez la porte à toutes les erreurs, la vérité restera dehors. [Tagore]

  14. #11
    mamono666

    Re : Formules de Binet en coordonnées polaires

    Vitesse:



    or,









    La force étant centrale, nous savons aussi que le moment cinétique est constant:



    or le moment cinétique est donné par:





    On pose alors c'est la constante des aires. Finalement, en l'injectant dans l'expression de la vitesse, on trouve:






    On peut mettre la formule sous la forme:



    Accélération:

    De la même manière:



    On introduire:




    La force est centrale: l'accélération est radiale, donc nous savons que la composante orthoradiale est nulle.




    Toujours avec la même notation



    et



    On obtiens:

    Dernière modification par mamono666 ; 13/02/2008 à 19h48.
    Out! Out! You, Demons Of Stupidity!!

  15. #12
    Jeanpaul

    Re : Formules de Binet en coordonnées polaires

    Citation Envoyé par bolltt Voir le message
    bonsoir,
    je pense que le mouvement est circulaire. J'ai vu que des mouvements circulaires pour le moment donc il y a peu de chances que ce soit une trajectoire elliptique. Peut-être je me trompe?
    De même qu'on n'utilise pas un marteau-pilon pour écraser des noix, on n'utilise pas les formules de Binet pour étudier un mouvement circulaire, sauf si on aime ça, évidemment.

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  17. #13
    Gwyddon

    Re : Formules de Binet en coordonnées polaires

    On peut aussi remarquer que le sujet ne dit nulle part que r est constant, surtout quand on voit cette question

    En posant u=1/r, montrer que dr/dt = -C du/dteta.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  18. #14
    bolltt

    Re : Formules de Binet en coordonnées polaires

    Bonsoir tout le monde,
    Merci à jeanpaul, à Gwyddon et à mamono666 (la correction est complète) mais malheureusement, j'ai pas encore vu le moment cinétique. C'est ça le problème. Pourriez-vous dire en quelques mots s'il vous plaît?

    De même qu'on n'utilise pas un marteau-pilon pour écraser des noix, on n'utilise pas les formules de Binet pour étudier un mouvement circulaire, sauf si on aime ça, évidemment.
    Il s'agit de déduire la formule de Binet et non de l'utiliser. C'est ce que j 'ai compris.
    Si vous fermez la porte à toutes les erreurs, la vérité restera dehors. [Tagore]

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