Formules de Binet en coordonnées polaires

[invitedaf7b98f]

Bonjour,
Il s'agit d'un exercice que j'ai trouvé dans mon fameux bouquin.
Dans le plan fixe x0y, un point M est reperé par ses coordonnées polaires OM= r(t) et (ux,ur biensur avec des vecteurs) = teta(t)

a) exprimer la vitesse V (M) et l'accélération a (M) en coordonnées polaires en faisant intervenir dans la base locale Ur, uteta.

b) Le point M consideré, de masse m est soumis à l'action d'une force de type f=f(r) ur avec des vecteurs, appelée force centrale (passant constamment par le point O). Justifier que r² dteta/dt = C, C étant une constante du mouvement.
- En posant u=1/r, montrer que dr/dt = -C du/dteta.
- En déduire les formules dites de binet:
v² = C² [ (du/dteta)² + u²) et ar = -C² u² (u+d²u/dteta²)

Reponse:

Pour la question a)
on sait que OM = r * ur

d'où v = dom/dt = r * d uteta / dt * u teta
a = d²om/dt² = r * d²uteta/dt² * u teta - r * (dteta/dt)² * ur
PS: les vecteurs sur ur u teta.

pour la question b) je ne sais pas quoi faire.
J'aimerai bien que vous me lanciez sur une piste. Merci à vous.
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[invitea3eb043e]

Franchement ce n'est pas une bonne idée d'appeler ur et uthéta les vecteurs unitaires locaux et en même temps u la variable 1/r
Déjà il faut remarquer que la dérivée de ur par rapport au temps c'est uthéta*dthéta/dr et que la dérivée de uthéta par rapport au temps c'est -ur* dthéta/dt.
Ensuite en déroulant ton calcul tu dois y arriver.

[invitedaf7b98f]

en fait ma réponse à la première question est juste? mais je ne sais pas comment faire la question b). Merci

[invitedaf7b98f]

Bonsoir,
comment je peux aborder la deuxième question? Quelques indices s'il vous plaît. Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Non, ça ne va pas et c'est illisible.
Regarde page 17 de la référence ci-dessous :

http://books.google.com/books?id=L2_...hlHfxN5b-Xu3LA

[invitedaf7b98f]

Bonsoir,
En fait, je ne vois pas qu'est-ce qui est faux. Mon objectif à la fin des deux questions et d'en déduire la formule de Binet donc je ne peux pas l'utiliser pour en déduire.

[invitea3eb043e]

v est un vecteur et tu ne donnes qu'une composante, à moins que je lise mal, ce qui est probable.

[invitedaf7b98f]

Bonsoir,
Pour v on a qu'une composante, ce qui est normale car dr/dt=0 car le rayon est constant, c'est pour cette raison, il y a qu'une composante

[invitea3eb043e]

Pourquoi le rayon est-il constant ? Dans le problème de Newton, la trajectoire est plane mais pas circulaire en général.

[invitedaf7b98f]

bonsoir,
je pense que le mouvement est circulaire. J'ai vu que des mouvements circulaires pour le moment donc il y a peu de chances que ce soit une trajectoire elliptique. Peut-être je me trompe?

[mamono666]

Vitesse:



or,









La force étant centrale, nous savons aussi que le moment cinétique est constant:



or le moment cinétique est donné par:





On pose alors c'est la constante des aires. Finalement, en l'injectant dans l'expression de la vitesse, on trouve:






On peut mettre la formule sous la forme:



Accélération:

De la même manière:



On introduire:




La force est centrale: l'accélération est radiale, donc nous savons que la composante orthoradiale est nulle.




Toujours avec la même notation



et



On obtiens:

[invitea3eb043e]

bonsoir,
je pense que le mouvement est circulaire. J'ai vu que des mouvements circulaires pour le moment donc il y a peu de chances que ce soit une trajectoire elliptique. Peut-être je me trompe?

De même qu'on n'utilise pas un marteau-pilon pour écraser des noix, on n'utilise pas les formules de Binet pour étudier un mouvement circulaire, sauf si on aime ça, évidemment.

[invite9c9b9968]

On peut aussi remarquer que le sujet ne dit nulle part que r est constant, surtout quand on voit cette question

En posant u=1/r, montrer que dr/dt = -C du/dteta.

[invitedaf7b98f]

Bonsoir tout le monde,
Merci à jeanpaul, à Gwyddon et à mamono666 (la correction est complète) mais malheureusement, j'ai pas encore vu le moment cinétique. C'est ça le problème. Pourriez-vous dire en quelques mots s'il vous plaît?

De même qu'on n'utilise pas un marteau-pilon pour écraser des noix, on n'utilise pas les formules de Binet pour étudier un mouvement circulaire, sauf si on aime ça, évidemment.

Il s'agit de déduire la formule de Binet et non de l'utiliser. C'est ce que j 'ai compris.