equation de Laplace ???

[invite85f33757]

bonjour à tous,

j'aimerais savoir s'il existe une maniere de résoudre l'equation de Laplace dans le cas générale. En cours nous n'avons pas traité ce cas mais seulement quelques cas particuliers grace à la méthode de l'image. Cependant je trouve que pour pouvoir utiliser la méthode de l'image il faut soit avoir beaucoup de sens physique, soit déjà avoir fait l'exo par exemple ce matin notre prof nous a montré comment résoudre le classique suivant:soit B une sphere conductrice plongée dans un champs électrique constant:trouver la répartition surfacique de charge sur la sphere. J'avoue que je n'aurais jamais trouvé ...
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[invitef591ed4b]

Il y a également la méthode de séparation des variables, c'est-à-dire qu'on pose que la fonction inconnue est un produit de fonction dépendant chacune d'une seule variable. On en retire plusieurs équations différentielles séparées contenant des constantes que l'on résout. On traite les conditions aux limites, puis on fait la combinaison linéaire de tout ce qu'on a trouvé en un développement en série ...

Enfin je dis ça de mémoire, mais je me souviens que c'était fastidieux (c'est ptêt moi qui déteste faire trop de calculs ).

[invite8c514936]

Malheureusement, il n'y a pas de méthode vraiment générale pour résoudre l'équation de Laplace... On essaie en général de se placer dans un système de coordonnées dans lequel les données du problème (les sources et les conditions aux limites) s'expriment simplement, mais du coup ça peut ne faire que déplacer la complexité du problème initiale vers celle des coordonnéees...

Sinon, en effet la méthode des images est assez puissante dans certains cas (regarde le Durand d'électrostatique pour pas mal d'exemples).

Enfin (?), les méthodes analytiques utilisant les transformations complexes sont très puissantes dans les problèmes bidimensionnels...

Re-enfin, il y a les méthodes numériques, notamment celles qui discrétisent le problème et remplacent les dérivées par des différences (éléments finis).

Rere-enfin (htper structuré, le post...), certaines méthodes faisant intervenir les marches au hasard permettent de donner des méthodes de résolution amusantes (si si !)...

[invitef591ed4b]

Alors oui, deep_turtle m'y a fait penser : on peut également prendre la transformée de Fourier des membres de l'équations, résoudre en calculant la transformée de la solution (ses dérivées deviennent des multiplications, pratique !!!), et à la fin, on rechoppe la transformée inverse ... (j'adore cette méthode, mais nos profs ne l'ont jamais demandée aux examens )

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea29d1598]

on peut également prendre la transformée de Fourier des membres de l'équations, résoudre en calculant la transformée de la solution (ses dérivées deviennent des multiplications, pratique !!!), et à la fin, on rechoppe la transformée inverse ...

en fait, la méthode précise (= la transformation à faire) dépend du nombre de dimensions spatiales et de la topologie des frontières du domaine de résolution (ouvert ou pas), mais ce genre de méthodes se généralise : pour Laplace en 3D avec des frontières à topologie sphérique, le plus simple c'est Legendre plutôt que Fourier, c'est-à-dire la décomposition en harmonique sphérique comme en physique quantique pour l'atome d'hydrogène.

pour ce genre de problème 3D avec des conditions limites sur des frontières "sphériques", on fait une décomposition de l'équation et des conditions limites, ce qui ramène tout ça à un ensemble d'équations différentielles pour la variable "r" (chaque équation correspond à un couple (l,m) donné). En fait, c'est même la méthode pour une équation de Poisson aussi (= Laplace avec terme "source").

Re-enfin, il y a les méthodes numériques, notamment celles qui discrétisent le problème et remplacent les dérivées par des différences (éléments finis).

si tu veux faire du numérique, pour un problème elliptique comme Laplace, y'a bien mieux que les différences finies... tu peux faire numériquement ce que j'ai dit plus haut (décomposition avec Legendre), c'est ce que l'on appelle les méthodes spectrales (en fait pour la variable "r", tu fais alors aussi une décomposition polynomiale, ce qui implique que numériquement tu n'as que de l'algèbre linéaire à faire). Ca te permet de faire du semi-analytique où les conditions limites sont bien mieux implémentées que dans les méthodes par différences finies.

[invite8c514936]

si tu veux faire du numérique, pour un problème elliptique comme Laplace, y'a bien mieux que les différences finies..

Intéressant... Mais ça marche quelles que soient les conditions aux limites ?? Je vois mal comment implémenter la forme d'une bouilloire sur une décomposition de Legendre si je veux étudier la diffusion de la chaleur dans ce récipient, dont par exemple la surface serait maintenue à température fixée...

[invitea29d1598]

Mais ça marche quelles que soient les conditions aux limites ?? Je vois mal comment implémenter la forme d'une bouilloire sur une décomposition de Legendre

si ta bouilloire a pas une forme trop compliquée (il faut que le domaine soit "étoilé", c'est-à-dire grossièrement qu'il existe un point duquel tu peux voir tous les autres), c'est pas problématique : tu décris sa surface par une fonction S(r,theta,phi)=0, puis par un changement de coordonnées radiale ksi=ksi(r,theta,phi) avec ksi=1 sur la bouilloire tu te ramène au cas S2(theta,phi)=0 et alors tu peux décomposer S2 (tes nouvelles conditions limites) sur une base de Legendre.

faut voir que dans le cas que tu décris (diffusion, ce qui n'est pas exactement Laplace), c'est le temps qui pose problème : pour lui tu peux pas faire de décomposition spectrale car dans un cas général (j'exclue le cas de modes propres d'oscillations), tu n'as pas de conditions limites aux deux extrémités... mais pour la partie spatiale, ça reste identique... et tu peux par exemple appliquer ce genre de méthodes si tu fais des études d'objets astrophysiques relativistes et complexes... par exemple...

[invite8c514936]

faut voir que dans le cas que tu décris (diffusion, ce qui n'est pas exactement Laplace), c'est le temps qui pose problème

Ben ce que tu me dis m'intéresse quand même : la propagation des rayons cosmiques dans la galaxie est décrite par une équation de diffusion en régime stationnaire (donc pas de terme temporel), car en plus d'un terme source localisé dans le disque galactique, il y a un terme de disparition localisé dans le disque aussi (réactrions nucléaires sur le milieu interstellaire) et un terme de fuite qui se modélise comme une condition aux limites que les bords de la galaxie. Le tout s'équilibre et le temps disparait des équations... Au final, il faut résoudre une équation de Laplace dans une boite de camembert.

Du coup, ça se résoud assez bien en coordonnées cylindriques si effectivement la distribution de sources admet cette symétrie, mais sinon c'est bordélatique... Là, la méthode que tu indiques s'applique au cas général... Intéressant, décidément !

[invitea29d1598]

Du coup, ça se résoud assez bien en coordonnées cylindriques si effectivement la distribution de sources admet cette symétrie, mais sinon c'est bordélatique... Là, la méthode que tu indiques s'applique au cas général... Intéressant, décidément !

je t'assure pas que c'est sans aucun problème, mais je dirais que la méthode doit être très similaire à celle que je t'ai dit avec le bon choix de décomposition : Bessel puisque tu es plus près d'un cylindre que d'une sphère...