formalisme quantique base continue

[invitec9d3ff01]

bonsoir
dans cet exercice on a une base continue qui est différente de la base discrète
si vous pouvez me montrer la méthode pour résoudre cet exercice

merci pour l'aide
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[invitec9d3ff01]

s.v.p je sens que j'aurais cet exercice a l'examen de rattrapage

[Not_even_wrong]

La différence entre une base continue et une base discrète est simplement le fait que les sommations discrètes sont remplacées par des sommations continues (des intégrales) lors de la décomposition de vecteurs sur la base. En gros tu remplaces les sommes par des intégrales.

[invitec9d3ff01]

merci pour la réponse
mais ici le prof n'a pas définit la base

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

merci pour la réponse
mais ici le prof n'a pas définit la base

Bonjour,

Quelques remarques / questions :

• Si, si, le prof définit la base, c'est indiqué en toute lettre. "Suivant la base |x>". Donc, oui, tu as bien une base continue, un vecteur d'état pour chaque valeur de x (supposé appratenir à l'ensemble R).
• Le fait que ce soit une base continue plutot que discrette n'introduit pas ici de grande complication et n'intervient pas beaucoup. Sauf à quelque endroits. Comme le dit Not_even_wrong, il faut juste remplacer les sommes par des intégrales. Ainsi, quand on te demande de décomposer |psi> sur cette base tu vas avoir |psi>=intégrale psi(x)|x>dx (en supposant psi(x) de carré sommable, pour les puristes, et normalisé, bien que ce ne soit pas obligatoire ici)
• Je trouve l'exercice extrêmement progressif. Chaque étape est presque "atomique" (dans le sens, difficile de décomposer ça en étapes plus simples, plus élémentaires). Il faut juste appliquer les bases du cours.
• Est-ce que tu pourrais dire où tu coinces ? Sur le 1 ? Un autre ? "Globalement" ? Dans ce dernier cas, outre la définition de la décomposition de l'état ci-dessus, je ne peux que renvoyer au cours pour apprendre à jongler avec les opérateurs et les états. Sauf question plus précise.

Bon courrage,

(ton examen de rattrapage, c'est en septembre ? Dans ce cas, même si on a du mal à te guider, ça va, on a le temps Je dis ça car évidemment personne ne donneras la réponse "toute cuite" et je suppose que ce n'est pas ce que tu attends)

[invitec9d3ff01]

merci pour la réponse
voila ce que j'ai pu trouvé

mais je ne sais pas utiliser ces formules
merci

[Deedee81]

Salut,

mais je ne sais pas utiliser ces formules

Eternel problème. C'est souvent là que la bât blesse.

Alors, allons-y pour quelques indices.

Questions et indices :
1
décomposition sur la base, avec la formule que tu donnes (ou celle que j'ai donné). Tu sais ce que vaut Pi|x>, donc il suffit d'appliquer Pi à la formule. En sachant que (ici) tu peux faire passer Pi sous l'intégrale Pi(Intégrale....) = Integrale(...Pi|x>) = etc...
2
Tu prends le produit scalaire de ce résultat avec <x| et tu appliques l'orthonormalisation (à nouveau tu peux faire entrer <x| dans l'intégrale). Puis tu compares avec le premier développement.
3
Elémentaire non ? Tu appliques Pi deux fois à |x> et tu conclus. Idem sachant Pi^n = Pi^2 Pi^2 ..... P^2 ou Pi^2 Pi^2 ..... P^2 Pi selon que n est pair ou impair.
4
Etant donné le 2, c'est vrai pour tout état |psi>, donc.... pour le prouver rigoureusement, tu multiplies par <psi|, avec le développement, tu multiplies terme à terme et tu appliques la relation de fermeture et l'orthonormalité (c'est un peu lourdingue mais pas difficile).
5
Tu as la relation initiale (définition) de Pi, tu prends le conjugué hermitique (ce n'est pas dans tes formules, alors je donne (A|psi>)+ = <psi|A+ où j'ai noté + le "symbole conjugué hermitique" une "petite croix en exposant"). Puis tu compares au 4. Tu as ta réponse.
6
Là j'hésite sur la manière de faire . Il y a peut-être plus simple, mais il y a la manière rigoureuse, pas très compliquée. Un état |phi> est un état propre de Pi si Pi|phi>=lambda|phi>. Tu as déjà calculé le développement complet de Pi|psi> pour un état quelconque. Egale à lambda fois le développement de |psi>, quelles peuvent être les valeurs de lambda ? Vérification : la question 3 te dis que le carré de l'opérateur c'est 1 (de valeur propre évidemment 1), et le carré de l'opérateur a pour valeurs propres le carré des valeurs propre de l'opérateur.

Indice : essaie d'appliquer Pi aux deux états (non normalisés mais peu importe) :
|x> + |-x>
et
|x> - |-x>
Revient ensuite au cas général, divise ton intégrale en deux les x positifs et les x négatifs, etc.....
7
Connaissant les valeurs propres de 6, tu peux facilement calculer les valeurs propres de Pi+ Pi- (c'est purement arithmétique). Définition d'un projecteur : valeurs propres 0 et 1. Conclusion ? Puis fair P+P- - P-P+ et connaissant 3, tu trouves ? Et donc ?
8
Facile, applique Pi à ces états, remplace P+ et P- par leurs définitions,... le reste c'est du calcul élémentaire.

Je peux difficile donner plus sans donner les solutions. Bon courrage,

P.S. : dans pas très longtemps, je suis en réunion. Donc à cet après-midi,

[invitec9d3ff01]

bonjour
Not_even_wrong Deedee81 merci merci merci merci pour l'aide