Modélisation d'un trampoline

[invite171486f9]

Bonsoir,
je tente de résoudre un exercice où l'on modélise un trampoline grâce à 2 ressorts identiques. Le 1° est attaché au point A, le 2° au point B. On modélise une personne par un point M, posé au centre O de [AB].
A l'équilibre, la personne est enfoncée d'une distance OM=x_e.
Le but est de calculer x_e.
Sauf que mon problème est que jusqu'à maintenant, je n'ai jamais rencontré de problème à 2 ressorts "obliques".
Mon idée est d'appliquer le PFD, mais pour les tensions respectives des 2 ressorts, tout ce que je sais est que T1=T2 (en norme).
Je ne vois pas comment calculer cette norme, en fonction de k et l₀...

J'ai tout d'abord essayé de considérer l'ensemble des 2 ressorts, générant une tension égale à l'opposé du poids de M. Mais ca n'aboutit pas.
J'ai ensuite essayé de m'interesser à l'angle (AB,AM) d'enfoncement, pour pouvoir calculer la tension, mais c'est pareil ca n'aboutit pas...

Si quelqu'un pouvait juste m'indiquer la méthode à suivre pour ce genre de problème, ca serait super...

Merci d'avance
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[invite8d322e93]

Tu as essayé en cherchant un minimum de l'Ep ? (Moi pas, c'est juste une idée, mais ça devrait marcher )

[invite171486f9]

Le problème, c'est que le point M n'est pas en mouvement. C'est un équilibre statique. On ne peut donc pas chercher de minimum pour l'énergie potentielle Ep... Tous les angles et longueurs sont fixes ici.

[lguenhael]

Bonsoir,

Tu dois résoudre :

L-L0 = P / (2*k*sinA)

et cosA = L0 / L

Système de 2 équations à 2 inconnues (A et L).

Ensuite tu détermines xe avec xe = L * sinA.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8d322e93]

Le problème, c'est que le point M n'est pas en mouvement. C'est un équilibre statique. On ne peut donc pas chercher de minimum pour l'énergie potentielle Ep... Tous les angles et longueurs sont fixes ici.

Peu importe qu'il soit en mouvement ou non, imagine que tu puisses le déplacer en tirant sur le point M, tu cherches au final la position vers laquelle il reviendra.

[invite171486f9]

Bonsoir,

Tu dois résoudre :

L-L0 = P / (2*k*sinA)

et cosA = L0 / L

Système de 2 équations à 2 inconnues (A et L).

Ensuite tu détermines xe avec xe = L * sinA.

Cordialement.

ok, oui je vois... par contre d'ou ca vient L-L0 = P / (2*k*sinA) ?
merci d'avance

[lguenhael]

Re,

L-L0 = P / (2*k*sinA) vient du fait qu’il y à 3 efforts au point M.

L’effort P (poids de la personne) et les 2 efforts F1 et F2 des 2 ressorts.

C’est 3 vecteurs force doivent former un triangle.

Or F1 et F2 sont égaux et orientés dans l’axe des ressorts d’inclinaison A.
P lui est vertical.

F1 = F2 = P / (2 * sinA)

Et on peut aussi dire que F1 = F2 = k (L –L0)

On se retrouve donc avec k (L –L0) = P / (2 * sinA)

Ou encore L – L0 = P / (2*k*sinA)

Cordialement.

[invite171486f9]

d'accord, merci beaucoup. C'est vrai que ici ca doit être un réflexe de faire un système de 2 équations à 2 inconnues...
cependant, c'est vrai aussi que :

cosA=5/2L
sinA=0.119/(L-1)

c'est pas facile à résoudre, même en passant par tanA (il y a le -1 qui est un peu pénible à virer)...
bah il doit bien y avoir une petite astuce mathématique...

en tout cas, merci !
bonne soirée

[invite6dffde4c]

Bonjour.

sinA=0.119/(L-1)

c'est pas facile à résoudre, même en passant par tanA (il y a le -1 qui est un peu pénible à virer)...

Quand vous tombez une expression comme (L-1), ça doit déclencher chez vous une grosse alarme. 'L' est une longueur et '1' est un nombre sans dimensions. Donc, soit c'est une erreur dans vos calculs ou c'est une valeur numérique avec dimensions. Je conseille toujours de ne jamais inclure des nombres avec des dimensions mais de leur donner un nom (genre Lo) pour éviter de confusions.

Pour revenir a votre trampoline, je n'ai pas très bien compris la géométrie. Je crois deviner que chaque ressort fait la moitié de la longueur totale. Est-ce que la longueur au repos est précisément cette longueur? C'est à dire, quand il n'a personne, les ressorts sont horizontaux et sans tension?

Quoi qu'il en soit, vous devez calculer l'allongement des ressorts quand la personne a enfoncé le centre d'une valeur donnée. Calculer la tension des ressorts et déduire la force sur les pieds de la personne.

J'espère que vous avez fait un bon dessin.

Il n'y a pas des équations à résoudre. Le calcul est direct: longueur, différence de longueur, tension et remplacement de la fonction trigonométrique par des longueurs du problème.

J'obtiens une force non linéaire (à cause de Pythagore) mais qui est, au besoin, intégrable.
Au revoir.

[invite171486f9]

Oui, en fait lorsque personne n'est monté sur le trampoline, les 2 longueurs occupent chacun la moitié de la longueur totale d.
Dans les valeurs numériques, d=5m et L₀=1m pour chaque ressort.
Ce qui veut dire que même à l'équilibre lorsqu'il n'y a personne dessus, il y a quand même une tension.
Ce veut dire que la force de rappel qu'est la tension T s'exerce vers la position à vide, et non pas dans la direction du ressort allongé ?
(je ne sais pas si je suis très clair)

pour le L-1 (1 correspond à L₀ que j'ai remplacé).Je ne devrais pas normalement, mais c'était juste pour tenter de résoudre le système plus faiclement...

[invite6dffde4c]

Re.
Les forces de chaque ressort sont orientées vers l'autre extrémité, mais au milieu, les composantes horizontales se compensent et les verticales s'ajoutent.
Vous devriez obtenir F=2k(L-Lo)x/L.
k est la constante des ressorts, Lo la longueur à vide et x l'enfoncement du trampoline. Évidemment, vous retrouverez 'x' à nouveau dans l'expression de L (dans la racine).
Au revoir.

[lguenhael]

Oula mais si il y a une tension initiale alors ce que je t'ai donné ne s'applique pas.

Attends je te donne le nouveau système à résoudre...

[lguenhael]

Tu dois alors résoudre :

L-L0 = P / (2*k*sinA)

et cosA = L1 / L

Système de 2 équations à 2 inconnues (A et L).

avec

L : longueur en charge,
L1 : longueur monté sur trampoline au repos,
L0 : longueur à vide des ressorts
P : poids de la personne
A : angle d'inclinaison des ressorts
k : raideur des ressorts

Ensuite tu détermines xe avec xe = L * sinA.

[invite171486f9]

Merci à vous deux pour votre aide, je viens de trouver une réponse qui me semble par mal.
Cependant, c'est bizarre, je viens de remarquer que l'application de PFD donnait directement la solution.
Une projection selon l'horizontale indique que les 2 tensions sont égales en norme (comme l'a dit LPFR les horizontales se compensent).
Une projection selon la verticale donne mg=2.sinA.T
Ya plus qu'a remplacer sinA par son équivalence dans la figure géométrique (sinA=x_e/L)
et a remplacer L en fonction de d et x_e...
donc finalement dans cet exo, le plus difficile c'est d'appliquer le PFD

[lguenhael]

Cependant, c'est bizarre, je viens de remarquer que l'application de PFD donnait directement la solution.

C'est du PFS là plutôt?

Une projection selon la verticale donne mg=2.sinA.T
Ya plus qu'a remplacer sinA par son équivalence dans la figure géométrique (sinA=xe/L)

Ce qui te donne :

mg = 2 * (xe/L) * T

et a remplacer L en fonction de d et xe...

mg = 2 * (xe/ sqr(xe² + (d/2)²)) * T

Nombre d'équation : 1.
Nombre d'inconnues : 2 (xe et T).

[invite171486f9]

et T on le remplace par la norme de la tension :
force de rappel vers la position à vide : T=k.(L-L₀)
ce qui donne 1 équation, 1 inconnue ^^
par contre, je ne pense pas que l'on puisse isoler x_e simplement. A mon avis, il faut faire une résolution numérique...

[invite6dffde4c]

par contre, je ne pense pas que l'on puisse isoler x_e simplement. A mon avis, il faut faire une résolution numérique...

Re.
Si c'est un exercice que l'on vous a posé, il est évident qu'il doit être soluble sans passer par une résolution numérique.
Mais qu'est ce que vous cherchez?
Ce n'est certes pas x_e.
Vous pouvez calculer analytiquement l'énergie potentielle: je vous avais déjà dit que la force était intégrable en fonction de la position.
Si vous avez l'énergie en fonction de la position, vous avec aussi la vitesse en fonction de la position.
Par contre, la position en fonction du temps, je ne suis pas (encore) sur que ce soit intégrable.
Qu'est ce qu'on vous demande?
A+

[invite171486f9]

C'est bien là une exercice que l'on m'a posé. Mais il n'y a pas besoin de faire intervenir l'énergie potentielle. La question était simplement de trouver x_e, puis d'en déduire l'alongement des ressorts.
Donc, sur ce plan, l'exercice peut être considéré comme résolu...
Merci

[invite6dffde4c]

C'est bien là une exercice que l'on m'a posé. Mais il n'y a pas besoin de faire intervenir l'énergie potentielle. La question était simplement de trouver x_e, puis d'en déduire l'alongement des ressorts.
Donc, sur ce plan, l'exercice peut être considéré comme résolu...
Merci

Re.
Si on vous demande de trouver le x pour un poids donné, le problème n'est pas résolu que si vous arrivez à x=....
Vous pouvez. C'est peut-être un peu emmquiquinant, mais vous avez seulement un x² dans une racine et un x en dehors. Il suffit de sortir la racine et l'élever au carré. Vous vous retrouverez avec une équation de second degré.
A+