Modélisation d'un mouvement circulaire

[invite36dac211]

Bonjour !
En Ts, on nous apprend gentillement que si un mouvement est circulaire uniforme, alors l'accélération normale est égale à V²/R et inversement.
Comment peut ton démontrer ce résultat ?
Merci d'avance !
Penangol
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[Duke Alchemist]

Bonjour.

Bonjour !
En Ts, on nous apprend gentillement que si un mouvement est circulaire uniforme, alors l'accélération normale est égale à V²/R et inversement.
Comment peut ton démontrer ce résultat ?
Merci d'avance !
Penangol

Il suffit d'exprimer le vecteur accélération au point M (= dérivé du vecteur vitesse) dans la base de Frenet (M, T, N) (où T et N sont respectivement les vecteurs tangent et normal à la trajectoire au point M).
Dans un mouvement circulaire, on a v = v(t)T.
En dérivant cette dernière expression, tu obtiens les composantes de l'accélération a_T et a_N en fonction de v.
En M.C.U., on a v=cste donc a_T = dv/dt = 0 et a = a_NN = v²/R N.

See ya.
Duke.

[Duke Alchemist]

Re-

Un oubli : pour un mouvement circulaire uniforme (M.C.U), on a aussi la relation : v = Rw (lire oméga pour w )
avec
v la vitesse au point considéré de la trajectoire (en m/s)
R le rayon du cercle (en m)
w la vitesse angulaire (en rad/s) = d(alpha)/dt ou alpha est l'angle entre le point de départ et le point M (= abscisse curviligne)

Duke.

[invitefa5fd80c]

Salut

La façon la plus simple que je connaisse pour le démontrer est la méhode vectorielle. Si tu fais un dessin de ce que je dis, tu verras plus facilement.

Considérons donc une particule P ayant un mouvement circulaire uniforme autour d'un point C.
Soient R la distance entre P et C, thêta l'angle entre CP et l'axe des X et V la vitesse (vectorielle) de la particule. Enfin, soit W la vitesse angulaire de la particule : W = dthêta / dt .
Je prendrai aussi pour acquis que tu sais comment montrer que V = WR, où V est la norme de V; ce qui peut aussi être écrit : W = V/R

Dans un temps dt, l'angle thêta varie d'une quantité dthêta. Dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme, la vitesse V est toujours perpendiculaire au vecteur radial CP et il est alors facile de montrer que la direction de V varie aussi d'une quantité dthêta.
Puisque le mouvement est uniforme, la grandeur de V est constante et donc la variation dV de V est perpendiculaire à V. Lorsque dthêta est petit, il est alors facile de montrer que norme(dV) = V dthêta.
L'accélération a est définie comme étant a = dV/dt, et alors on a :
norme(a) = norme(dV)/dt = (V dthêta) / dt = V (dthêta / dt) = VW = V²/R
C.Q.F.D.

A+

PS : oops Duke plus rapide. Ça te fera deux façons de voir la chose.

[A voir en vidéo sur Futura]