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Modélisation d'un mouvement circulaire



  1. #1
    Penangol

    Modélisation d'un mouvement circulaire


    ------

    Bonjour !
    En Ts, on nous apprend gentillement que si un mouvement est circulaire uniforme, alors l'accélération normale est égale à V2/R et inversement.
    Comment peut ton démontrer ce résultat ?
    Merci d'avance !
    Penangol

    -----
    Surveille tes arrières.Economise tes munitions. Et, surtout, ne traite jamais avec un dragon

  2. #2
    Duke Alchemist

    Re : Modélisation d'un mouvement circulaire

    Bonjour.
    Citation Envoyé par Penangol
    Bonjour !
    En Ts, on nous apprend gentillement que si un mouvement est circulaire uniforme, alors l'accélération normale est égale à V2/R et inversement.
    Comment peut ton démontrer ce résultat ?
    Merci d'avance !
    Penangol
    Il suffit d'exprimer le vecteur accélération au point M (= dérivé du vecteur vitesse) dans la base de Frenet (M, T, N) (où T et N sont respectivement les vecteurs tangent et normal à la trajectoire au point M).
    Dans un mouvement circulaire, on a v = v(t)T.
    En dérivant cette dernière expression, tu obtiens les composantes de l'accélération aT et aN en fonction de v.
    En M.C.U., on a v=cste donc aT = dv/dt = 0 et a = aNN = v²/R N.

    See ya.
    Duke.

  3. #3
    Duke Alchemist

    Re : Modélisation d'un mouvement circulaire

    Re-

    Un oubli : pour un mouvement circulaire uniforme (M.C.U), on a aussi la relation : v = Rw (lire oméga pour w )
    avec
    v la vitesse au point considéré de la trajectoire (en m/s)
    R le rayon du cercle (en m)
    w la vitesse angulaire (en rad/s) = d(alpha)/dt ou alpha est l'angle entre le point de départ et le point M (= abscisse curviligne)

    Duke.

  4. #4
    PopolAuQuébec

    Re : Modélisation d'un mouvement circulaire

    Salut

    La façon la plus simple que je connaisse pour le démontrer est la méhode vectorielle. Si tu fais un dessin de ce que je dis, tu verras plus facilement.

    Considérons donc une particule P ayant un mouvement circulaire uniforme autour d'un point C.
    Soient R la distance entre P et C, thêta l'angle entre CP et l'axe des X et V la vitesse (vectorielle) de la particule. Enfin, soit W la vitesse angulaire de la particule : W = dthêta / dt .
    Je prendrai aussi pour acquis que tu sais comment montrer que V = WR, où V est la norme de V; ce qui peut aussi être écrit : W = V/R

    Dans un temps dt, l'angle thêta varie d'une quantité dthêta. Dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme, la vitesse V est toujours perpendiculaire au vecteur radial CP et il est alors facile de montrer que la direction de V varie aussi d'une quantité dthêta.
    Puisque le mouvement est uniforme, la grandeur de V est constante et donc la variation dV de V est perpendiculaire à V. Lorsque dthêta est petit, il est alors facile de montrer que norme(dV) = V dthêta.
    L'accélération a est définie comme étant a = dV/dt, et alors on a :
    norme(a) = norme(dV)/dt = (V dthêta) / dt = V (dthêta / dt) = VW = V2/R
    C.Q.F.D.

    A+

    PS : oops Duke plus rapide. Ça te fera deux façons de voir la chose.

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