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Petites oscillations d'un pendule simple



  1. #1
    Seirios

    Petites oscillations d'un pendule simple


    ------

    Bonjour à tous,

    J'aimerais savoir pourquoi l'on peut dire que parler de période d'un pendule simple, pour de petites oscillations, n'a pas de sens. Est-ce dû à la linéarisation du cosinus dans les calculs, obstruant l'aspect chaotique du système ?

    Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

    Merci d'avance
    Phys2

    -----
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  2. #2
    predigny

    Re : Petites oscillations d'un pendule simple

    Pourquoi un pendule simple aurait-il un aspect chaotique ? Même deux pendules couplés ont un comportement tout à fait déterministe. Ca se corse peut-être avec trois.

  3. #3
    Seirios

    Re : Petites oscillations d'un pendule simple

    Citation Envoyé par predigny
    Pourquoi un pendule simple aurait-il un aspect chaotique ?
    Je ne sais pas, je disais cela parce que l'oscillation d'un pendule simple était caractérisée par une équation différentielle non-linéaire.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  4. #4
    citron_21

    Re : Petites oscillations d'un pendule simple

    Salut,
    ce n'est pas parce que son équation differentielle n'est pas linéaire, que son comportement est chaotique... AU contraire, d'ailleurs
    Sinon, pour la période, lorsqu'on l'exprime pour un pendule simple, on a deux équations différentielles (suivant la coordonnée radiale et orthoradiale).
    Une avec un sin, et une avec un cos...
    quand tu as de petites oscillations, tu es obligé de passer par sinθ=θ et cosθ=1, qui est dû au développement limité de sin et cos.
    ceci dit, ce n'est qu'une approximation (qui est recevable pour θ tout petit).
    Je pense que c'est cette approximation, qui empêche de parler de période propre pour le pendule.
    En effet, on peut imaginer que si on lâche un pendule simple pour qu'il fasse de grandes oscillations, sa période (qui sera d'ailleurs toujours sa période propre), ne sera pas du tout pas même que celle calculée pour des petits angles (cette dernière se révèle donc fausse, pour un angle quelconque)...
    "Lorsque deux forces sont jointes, leur efficacité est double", Isaac Newton

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    chwebij

    Re : Petites oscillations d'un pendule simple

    Citation Envoyé par predigny Voir le message
    Pourquoi un pendule simple aurait-il un aspect chaotique ? Même deux pendules couplés ont un comportement tout à fait déterministe. Ca se corse peut-être avec trois.
    le chaos peut provenir d'un système déterministe

    En fait l'une des caractéristiques des systèmes chaotiques est que le système "explore" toutes les configurations possibles. En bref, la courbe dans l'espace des phases va parcourir tout le domaine définit par l'énergie totale.

    Or pour un pendule simple, on à l'énergie donnée par:

    soit l'impulsion est donnée par:


    on voit ici que dans l'espace des phases , la trajectoire n'explore pas tout l'espace et que l'impulsion est une fonction périodique des positions, donc on a un caractère périodique dans le mouvement.

    De plus si , peut prendre ses valeurs sur R, on a alors un mouvement de rotation (la vitesse ne s'annule jamais).
    Sinon le mouvement est compris entre deux valeurs de l'angles, on a alors une libration (comme un oscillateur harmonique).

    voila à quoi ressemble son portrait de phase:
    http://www.chimix.com/an6/sup/phy0.htm

    Même si l'équation est non linéaire, ca ne veut pas dire qu'on ne peut pas trouver une solution à l'équation différentielle. De plus un système à un degré de liberté ne peut être chaotique, il est forcément intégrable, cad que son comportement peut être complètement prédit (cf système intégrable).
    On peut rendre ce pendule chaotique en ajoutant une percution
    AH NON! au moment où la petite flûte allait répondre aux cordes. Vous êtes ODIEUX!!

  7. #6
    Seirios

    Re : Petites oscillations d'un pendule simple

    Citation Envoyé par citron_21
    ce n'est pas parce que son équation differentielle n'est pas linéaire, que son comportement est chaotique...
    Je sais bien, mais j'essayais de comprendre la remarque faite par Gwyddon dans un autre fil :

    Citation Envoyé par Gwyddon
    la période d'un pendule n'a pas de sens
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  8. #7
    citron_21

    Re : Petites oscillations d'un pendule simple

    dans quel fil est-ce ? peut-être que sa remarque dépend du contexte...
    "Lorsque deux forces sont jointes, leur efficacité est double", Isaac Newton

  9. #8
    Seirios

    Re : Petites oscillations d'un pendule simple

    If your method does not solve the problem, change the problem.

  10. #9
    citron_21

    Re : Petites oscillations d'un pendule simple

    oui, je pense qu'il disait ca en rapport avec les approximations simplificatrices pour cosθ=1 et sinθ=θ (valable seulement pour les petits angles)
    "Lorsque deux forces sont jointes, leur efficacité est double", Isaac Newton

  11. #10
    chwebij

    Re : Petites oscillations d'un pendule simple

    si on définit par période le temps que met un système pour revenir à un état et de façon périodique alors on peut définir une période pour le mouvement d'un pendule, que cela soit un retour à une position (angle) ou à une vitesse.
    AH NON! au moment où la petite flûte allait répondre aux cordes. Vous êtes ODIEUX!!

  12. #11
    Weensie

    Re : Petites oscillations d'un pendule simple

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Bonjour à tous,

    J'aimerais savoir pourquoi l'on peut dire que parler de période d'un pendule simple, pour de petites oscillations, n'a pas de sens. Est-ce dû à la linéarisation du cosinus dans les calculs, obstruant l'aspect chaotique du système ?

    Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

    Merci d'avance
    Phys2
    J'aime bien le "obstruant" : Ya pas d'orifice dans notre histoire !

    Je comprends pas pourquoi tu parles de chaos ya rien de chaotique !

    En fait je ne comprends pas ta question : on ne dit jamais que la période d'un pendule simple pour de petites oscillations n'a pas de sens au contraire
    .

  13. #12
    citron_21

    Re : Petites oscillations d'un pendule simple

    Citation Envoyé par Weensie Voir le message
    En fait je ne comprends pas ta question : on ne dit jamais que la période d'un pendule simple pour de petites oscillations n'a pas de sens au contraire
    peut-être qu'on ne le dit jamais, mais Gwyddon lui le dit ^^
    C'est justement l'objectif du fil, que de comprendre pourquoi...
    "Lorsque deux forces sont jointes, leur efficacité est double", Isaac Newton

  14. #13
    Weensie

    Re : Petites oscillations d'un pendule simple

    AAA OK !!
    Je crois dans ce cas que phys2 a raison , c'est à cause des approximations .
    .

  15. #14
    Magnétar

    Re : Petites oscillations d'un pendule simple

    Bonjour,

    la période d'un pendule n'a pas de sens
    D'après moi quand Gwyddon disait que la période d'un pendule n'a pas de sens il pensait : "la période d'un pendule simple n'a pas de sens" et non pas "la période des petites oscillations d'un pendule simple n'a pas des sens" deux choses totalement différentes. Mais bon je ne voudrais pas m'exprimer à sa place.

    En réalité on ne peut pas se permettre de parler de la période d'un pendule simple car il ne s'agit pas d'une caractéristique du pendule, en effet celle-ci dépend de l'amplitude des oscillations (voir le post #7 de http://forums.futura-sciences.com/thread158230.html la formule est donnée sous forme d'une intégrale non exprimable avant la linéarisation). Comme ce n'est pas une caractéristique du pendule on ne peut pas se permettre l'abus de langage qui consiste à confondre "période d'un pendule simple" et "période des [petites] oscillations d'un pendule simple".

    En revanche s'agissant d'un oscillateur harmonique (type classique ressort avec une masse fixée au bout) l'abus de langage serait plus acceptable car la période des oscillations d'un oscillateur harmonique est caractéristique de celui-ci et ne dépend pas de l'amplitude des oscillations par exemple.
    Et d'ailleurs quand on calcule la période des petites oscillations d'un pendule simple on fait l'approximation dites harmonique en approximant un potentiel cosinusoidal par un potentiel quadratique (qd on DL le cos ou sin), le pendule simple est alors modélisé par un oscillateur harmonique.

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