periode des petites oscillations

[invite0395b98d]

Bonjour,
on me demande de calculer la période des petites oscillations d'un demi disque en appliquant le théorème de l'énergie cinétique.

Je ne vois pas comment faire, pouez vous m'expliquer ?
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[Coincoin]

Salut,
Il faut t'y habituer car la question "calculer la période des petites oscillations" est un grand classique.
Ca veut dire que tu t'écartes très légèrement de la position d'équilibre. Vu que c'est une position stable, tu vas osciller autour de cette position.

Si tu as l'expression de l'énergie potentielle, le plus simple est de faire un développement limité à l'ordre 2 en fonction de l'angle. Tu as alors : . Le premier terme ne sert à rien et le deuxième est nul (équilibre), donc au final tu te retrouves avec une expression qui ressemble à celle d'un oscillateur harmonique (un pendule). Tu peux donc en tirer la période.

[invite0395b98d]

J'ai essayé qqch mais je suis pas convaincue :
dEc= -dEp
Ep = mgz + cte
Je dérive deux fois et je trouve :
-mgz (d²théta/dt² . sin(théta) - 2dthéta/dt . cos(théta))
pour théta petit j'ai : d(théta)/dt = 0
donc je trouve :
-mgz . d²théta/dt² . sin(théta)

Qu'en pensez vous?

[BioBen]

Une question : comment justifies tu que dtheta/dt = 0 mais d²theta/dt² ne soit pas nul ?
J'ai du mal à suivre le raisonnement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0395b98d]

Hé bien l'énoncé me dit que dthéta/dt = 0
et de plus j'ai prouvé avant que j'ai une position d'équilibre.
Pour d²théta/dt², j'ai une position d'équilibre stable donc le résultat est >0.

[Jeanpaul]

Bonjour,
on me demande de calculer la période des petites oscillations d'un demi disque en appliquant le théorème de l'énergie cinétique.

Je ne vois pas comment faire, pouez vous m'expliquer ?

Il est fichu comment, ton demi-disque ? Il roule sur un sol plan ?

[invite0395b98d]

oui voilà, il roule sur sa "partie bombée" sur un sol plan

[Jeanpaul]

Commence par trouver la position du centre de gravité du demi-disque, ce n'est pas très difficile.
Ensuite, regarde ce qui se passe quand on incline le demi-cylindre d'un angle @. De combien monte le centre de gravité ? Ca donne l'énergie potentielle en fonction de @.
Ensuite, regarde les coordonnées xG et yG du centre de gravité en fonction de @. Cela devrait te permettre de calculer l'énergie cinétique de translation, à laquelle il faut ajouter l'énergie cinétique de rotation 1/2 I @'² où I est le moment d'inertie autour de G.

Quand tu ajoutes l'énergie cinétique et l'énergie potentielle, tu trouves une fonction de @ et d@/dt qui est en fait constante. Dérive cette égalité par rapport au temps et fais l'approximation sin(@) = @ et cos(@) = 1 - @²/2 et tu trouveras un système oscillant.

Il y a des calculs à faire, c'est sûr.