Mécanique analytique / Matrices relatives aux énergies

[invitebde798e3]

Salut,

Je suis face à un exercice concernant les pulsations/modes de vibrations. Le système mécanique est un ensemble de deux disques reliés par une tige. (histoire de donner le contexte)

Lors des premières questions, il nous est demandé de donner les énergies potentielle et cinétique du système et ensuite d'écrire les matrices T et V relatives à ces énergies.

C'est ici que se situe mon problème, je n'ai aucune idée de la manière de construire ces matrices. J'ai effectué plusieurs recherches sur internet mais aucun moyen de trouver un article sur le sujet.

merci.

[invitea29d1598]

salut,

si tu écris tes énergies cinétiques et potentielles, elles vont faire apparaître des combinaisons de termes semblables à x^2,xy et y^2 (par exemple pour une énergie potentielle, x étant une coordonnée associée à un sous-système et y celle associée à un autre). Or, si tu as une forme quadratique (fonction de x et y qui a cette allure), tu peux l'écrire sous la forme d'un produit matriciel où V est le vecteur (colonne) de composantes (x,y), t désigne sa transposée (le vecteur ligne donc) et Q une matrice 2x2 dont tu trouveras facilement les coefficients. Pour l'énergie cinétique, tu auras donc un vecteur v qui aura pour composantes les dérivées temporelles des coordonnées, ce que tu peux voir comme la dérivée temporelle du premier vecteur. Après, tout dépend des détails de ton exo et de ce que tu veux faire, mais le gros de l'idée est là...

[invitebde798e3]

ok merci, c'est bien ce qu'il me semblait.

Dans mon exercice (il existe des problèmes analogues concernant les chaînes de molécules cycliques), j'arrive à trouver le bon résultat pour l'énergie cinétique. Mais pour l'énergie potentielle j'ai des difficultés:

voici son expression, V=(1/2)*C* {(θ1-θA)^2 + (θ2-θ1)^2 + (θB-θ2)^2}

(où C est le couple, (disque/tige)
θA et θB sont les angles entre le plan et les index aux deux extrémités de la tige,
θ1 et θ2 sont les angles entre le plan et les rayons marqués des 2 disques.)

et la matrice que l'on doit trouver est:
V=[ 2C | -C ]
----[ -C | 2C]

Dans l'Ep il y a 4 variables, comment arrive-t-on à ce résultat?

(si vous connaissiez des adresses concernant le sujet, je suis preneur)

Désolé de faire le boulet, mais je me suis déjà tombé dessus en exam (en question préliminaire) et évidemment j'ai pu mangé mon déjeuner plus tôt ce jour là... je n'ai pas envie de me retrouver dans cette situation une 2eme fois, voir une 3eme ou 4eme fois...

merci

[invitea29d1598]

salut,

si par hasard tu pouvais poster un schéma je crois que ça aiderait... perso dans l'état actuel je ne suis pas certain de comprendre la définition des angles... et c'est peut-être également le cas d'autres personnes qui seraient sinon disposées à t'aider

m'enfin, à mon avis tes 4 angles ne doivent pas être indépendants et il faut donc que tu en exprimes deux en fonctions des autres pour revenir à deux variables et non quatre...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebde798e3]

Voici mon système (merci paint ^^).

Ce que j'aimerai savoir, c'est comment aboutir à la matrice C, et comment construire ces matrices de manière générale.

Sinon, je ne sais pas trop dans quel chapitre de mécanique, je pourrais trouver plus d'information sur le sujet.

Merci pour votre aide.

[invitea29d1598]

salut,

sauf erreur de ma part, tes angles et sont des constantes, non ?

si tel est le cas, tu peux "trouver" la matrice en regardant dans ton potentiel seulement les termes bilinéaires (carré de theta1 ou theta2 et produit de ceux-ci). Les termes linéaires, tu peux les faire disparaître en redéfinissant les angles, par exemple theta1'=theta1-A, et les termes constants sont sans importance pour la physique.

tu peux déterminer la constante A (et son équivalent pour theta2) qui fait disparaître les termes linéaires en cherchant la position d'équilibre de ton système, c'est-à-dire le couple (theta1,theta2) pour lequel le gradient du potentiel (qui est un vecteur à deux composantes) est nul, et en utilisant comme nouveaux angles les écarts à ces valeurs. La redéfinition linéaire des angles theta1 et tetha2 ne change en effet ni le terme quadratique ni l'énergie cinétique (car A ne dépend pas du temps) et c'est pour ça que tu peux identifier la matrice juste en regardant les termes bilinéaires.

du point de vue mathématique, tout ça revient à faire une translation dans le plan (theta1,theta2) et à chercher l'écriture "canonique" de la forme quadratique. Regarde par exemple ici. Mais c'est équivalent exactement à ce que fait un physicien quand il cherche la position d'équilibre et redéfinit les variables par rapport à celle-ci.

tout ça devrait se rencontrer dans la partie "oscillations couplées" (ou truc semblable) de bouquins de méca...