Dynamique Inverse, et Symbole de Christoffel ?

[invite0512e825]

Bonjour,

J'aurais aimé savoir si quelqu'un parmis vous aurait quelques sources intéressantes sur le symbole de Christoffel et son fonctionnement. N'ayant que très peu de connaissances en physique, j'ai un peu de mal à saisir les pages wikipedia qui y sont associées.

Mon problème est le suivant. Je fais une thèse en informatique sur la synthèse de mouvements de personnages virtuels à partir d'un formalisme descriptif particulier (peu importe). Je me suis intéressé dans un premier temps à des problèmes de cinématique inverse, ce qui a abouti avec succès (relatif) à la définition de postures pour un squelette animé. Jusque là pas de problèmes.

Maintenant pour arriver à définir un mouvement plus naturel, je m'intéresse à un certain nombre d'articles ayant pour sujet la dynamique. Et là c'est la débandade ^^.

Jusqu'à présent je n'avais pas eu trop de mal à comprendre ce que je lisais, mais je suis tombé sur un article faisant intervenir le symbole de Christoffel ... Et ... heu ... J'y comprends plus rien du tout

Y aurait-il une âme charitable pour me venir en secours ?


Encore plus précisément, voici le problème. On considère un modèle bio-mécanique représentant le pouce et l'index d'une main. Le système à 8 degrés de liberté qui sont les différents angles de torsion des articulations (3 pour le pouce, 4 pour l'index, et 1 pour le poignet).

Là l'article me sort que le calcul des torsions est résolu en utilisant les équations de Lagrange sous la forme d'une convolution de tenseurs.

Equation magique :



Equation pour laquelle : et v sont les indices des degrés de liberté (lambda étant le degré de liberté considéré). représente les coordonnées du système (donc les valeurs des angles à l'instant t). représente les forces de contrôle du système et les forces externes au système.

Là où ca se gate, ce sont les deux opérateurs c et C. c représente la métrique du tenseur et C le symbole de Christoffel (ou Kristoffel ?) qui sont posés là sans aucune explication du rôle qu'ils jouent ... Autant la métrique, je vois très vite un lien vers les masses liées aux phalanges concernées (ce qu'ils appellent link masses) ... Autant le symbole de Christoffel je capte absolument pas à quoi il sert.

Mes questions sont donc les suivantes :

1- Pourquoi on parle d'équation de Lagrange alors que je retrouve pas du tout la forme d'équation de Lagrange dans la formule ? Encore une fois, je suis un débutant en physique ... Je connais un certain nombre de concepts mais de manière très peu formelle. Est ce que quelqu'un pourrait m'éclairer sur ce point Lagrangien ?

2- Du point de vue d'un physicien émérite, semble-t-il logique que la métrique du tenseur ait un lien avec la masse des phalanges ?

3- J'ai cru lire que le symbole de Christoffel permettait de prendre en compte les changements de repères dans un système en mouvement. Mais ca reste très très flou pour moi. Peut on m'expliquer le rôle qu'il joue dans cette équation ?


Merci à ceux qui auront pris le temps de lire mon petit problème

Et encore plus merci à ceux qui prendront le temps d'y repondre.

Très Cordialement
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[invite7ce6aa19]

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Equation magique :



Equation pour laquelle : et v sont les indices des degrés de liberté (lambda étant le degré de liberté considéré). représente les coordonnées du système (donc les valeurs des angles à l'instant t). représente les forces de contrôle du système et les forces externes au système.

Là où ca se gate, ce sont les deux opérateurs c et C. c représente la métrique du tenseur et C le symbole de Christoffel (ou Kristoffel ?) qui sont posés là sans aucune explication du rôle qu'ils jouent ... Autant la métrique, je vois très vite un lien vers les masses liées aux phalanges concernées (ce qu'ils appellent link masses) ... Autant le symbole de Christoffel je capte absolument pas à quoi il sert.

Mes questions sont donc les suivantes :

1- Pourquoi on parle d'équation de Lagrange alors que je retrouve pas du tout la forme d'équation de Lagrange dans la formule ? Encore une fois, je suis un débutant en physique ... Je connais un certain nombre de concepts mais de manière très peu formelle. Est ce que quelqu'un pourrait m'éclairer sur ce point Lagrangien ?

2- Du point de vue d'un physicien émérite, semble-t-il logique que la métrique du tenseur ait un lien avec la masse des phalanges ?

3- J'ai cru lire que le symbole de Christoffel permettait de prendre en compte les changements de repères dans un système en mouvement. Mais ca reste très très flou pour moi. Peut on m'expliquer le rôle qu'il joue dans cette équation ?

Bonjour,

Une réponse très très courte.

L'équation de Lagrange que tu écris c'est tout simplement la loi de Newton écrite dans un sytème de coordonnées curvilignes quelconque.

Tu reconnaitras le premier terme du premier membre qui est le terme d'accélération et au second membre les forces qui causent l'accélération. Par contre je ne sais pas ce que sont les forces de controle T du système.

Le symbole de Christoffel découle de l'expression de Newton en coordonnées curvilignes. Ce n'est pas un tenseur. par contre son expression est contrainte par l'existence d'une métrique.

[invitea29d1598]

Bonjour,

Encore plus précisément, voici le problème. On considère un modèle bio-mécanique représentant le pouce et l'index d'une main. Le système à 8 degrés de liberté qui sont les différents angles de torsion des articulations (3 pour le pouce, 4 pour l'index, et 1 pour le poignet).

Là l'article me sort que le calcul des torsions est résolu en utilisant les équations de Lagrange sous la forme d'une convolution de tenseurs.

a priori la situation doit être plus ou moins la suivante : la dynamique du système doit être décrite comme celle d'un point dans un espace à 8 dimensions (8 degrés de liberté). Or, la dynamique du point peut être formulée de 2 façons :

- à la Newton avec des forces
- à la variationnelle où l'équation du mouvement dérive des équations d'Euler-Lagrange (parfois appelées simplement Lagrange) appliquées à un lagrangien (c'est-à-dire que les équations du mouvement sont telles que le lagrangien est stationnaire le long du chemin suivi).

En pratique, tu arrives au même type d'équation à la fin : un truc du genre F=ma.

Si tu regardes la physique d'un point matériel, tu vérifieras facilement que le lagrangien L=T-V où T est l'énergie cinétique te redonne bien ma=- grad V grâce aux équations d'Euler-Lagrange.

Après, il y a une différence qui intervient dans ton cas : tout ce que j'ai raconté avant est trivial si l'on se place dans un référentiel inertiel et utilise des coordonnées adaptées à celui-ci, c'est-à-dire cartésiennes. Mais comment traduire de manière lagrangienne les forces d'inerties qui apparaissent dans le cadre newtonien ? et c'est là que la réponse va t'intéresser car c'est justement le rôle des Christoffel.

Pour commencer, que sont-ils :

* si tu calcules la divergence d'un vecteur en coordonnées et composantes cartésiennes, c'est juste

* en coordonnées sphériques, tu sais que c'est plus compliqué que ça... et bien en fait, non. C'est aussi simple si on écrit où est la dérivée covariante qui est égale à la dérivée partielle plus un truc nommée "connexion" et qui dans le cas qui t'intéresse est égale aux symboles de C.

ces symboles apparaissent naturellement quand tu calcules la divergence (ou plein d'autres opérateurs différentiels) en coordonnées sphériques (ou plus généralement curvilignes) pour prendre en compte le fait que les vecteurs de base ne sont pas constants d'un point à l'autre. Or, si tu te replaces en physique, cela se produit uniquement si la base en question est associée à un observateur non-inertiel.

en pratique cela implique que l'équation doit être modifiée pour faire apparaître des termes proportionnels à la dérivée première de x. En physique newtonienne ces termes sont considérés comme des forces d'inertie, alors qu'en formalisme variationnelle ils sont interprétés comme des trucs géométriques et mis dans l'équation du côté du "ma" et on les appelle "symboles de Christoffel". Le principe final étant de dire qu'en l'absence de forces extérieures le système suivra ce que l'on nomme une "géodésique" de l'espace. Pour te convaincre que l'équation d'une telle courbe n'est pas simplement a=0, regarde celle d'une ligne droite en coordonnées sphériques.... même si d^2x/dt^2=0 correspond à une droite parcourue à vitesse constante quand tu utilises des coordonnées cartésiennes, l'équation différentielle associée à ce mouvement en coordonnées sphériques est plus complexe : elle fait apparaître des symboles de C et prend exactement la forme du membre de gauche de ton équation.

voilà, voilà... c'était têt pas le summum de la clarté mais j'espère que ce résumé de l'idée t'aura aidé un minimum... en tous cas je te conseille de regarder un cours d'intro au calcul tensoriel en coordonnées curvilignes pour avoir plus de détails sur tout ça.

[edit] croisement avec mariposa

[invite0512e825]

Merci énormément à tous les deux

Je vais potasser ça et je donnerai suite au thread si j'ai d'autres questions

[A voir en vidéo sur Futura]