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Quaternion et Physique



  1. #1
    G13

    Quaternion et Physique

    Bonjour,

    Pourriez-vous me donner un exemple d'application des quaternions à la physique ?
    En effet, en relativité, l'espace est , il y a une forme quadratique mais ce n'est pas une norme, tandis que sur les quaternions, c'est une norme.
    Merci d'avance

    -----


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  3. #2
    mariposa

    Re : Quaternion et Physique

    Citation Envoyé par G13 Voir le message
    Bonjour,

    Pourriez-vous me donner un exemple d'application des quaternions à la physique ?
    En effet, en relativité, l'espace est , il y a une forme quadratique mais ce n'est pas une norme, tandis que sur les quaternions, c'est une norme.
    Merci d'avance
    Bonjour,

    Sous réserve d'avoir bien compris ta question, les quaternions constituent une representation du groupe de rotation, en fait de son recouvrement donc isomorphe à SU(2).

    Par ailleurs l'algébre de Lie du groupe des transformations de Lorentz de la relativité SO(3,1) c'est su(2)*su(2). Il est donc facile de voir que les quaternions peuvent representer la RR. En fait la RR est complètement impliquée dans l'algébre Clifford. L'algébre des quaternions étant une algébre de Clifford.

  4. #3
    G13

    Re : Quaternion et Physique

    Citation Envoyé par mariposa Voir le message
    Bonjour,

    Sous réserve d'avoir bien compris ta question, les quaternions constituent une representation du groupe de rotation, en fait de son recouvrement donc isomorphe à SU(2).

    Par ailleurs l'algébre de Lie du groupe des transformations de Lorentz de la relativité SO(3,1) c'est su(2)*su(2). Il est donc facile de voir que les quaternions peuvent representer la RR. En fait la RR est complètement impliquée dans l'algébre Clifford. L'algébre des quaternions étant une algébre de Clifford.
    Merci beaucoup pour ta réponse.
    Je comprends le premier paragraphe. Mais pour le deuxième, je dois faire une erreur dans le raisonnement qui suit:
    SO(3,1) est le produit cartésien de SU(2) par SU(2), donc SO(3,1) est compact car SU(2) l'est. Or il me semble que SO(3,1) est non borné.
    Merci d'avance

  5. #4
    mariposa

    Re : Quaternion et Physique

    Citation Envoyé par G13 Voir le message
    Merci beaucoup pour ta réponse.
    Je comprends le premier paragraphe. Mais pour le deuxième, je dois faire une erreur dans le raisonnement qui suit:
    SO(3,1) est le produit cartésien de SU(2) par SU(2), donc SO(3,1) est compact car SU(2) l'est. Or il me semble que SO(3,1) est non borné.
    Merci d'avance
    Je ne crois pas que le groupe SO(3,1) soit le produit catésien de groupe SU(2)*SU(2) par contre l'algébre de Lie du groupe SO(3,1) c'est bien le produit des algébres de Lie su(2)*su(2)

  6. #5
    G13

    Re : Quaternion et Physique

    Ah, oui, j'avais mal lu. Merci !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    pierre mistwood

    Re : Quaternion et Physique

    Je me demande si on ne peut pas écrire la transformation de Lorentz comme une rotation conservant la norme du quaternion. Ecrite comme rotation la TL fait intervenir des angles imaginaires, d'où des fonctions hyperboliques. Mais dans l'espace des quaternions, ce serait des angles réels. Mais où est l'axe de la rotation ? Merci de m'aider.

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  10. #7
    mariposa

    Re : Quaternion et Physique

    Citation Envoyé par pierre mistwood Voir le message
    Je me demande si on ne peut pas écrire la transformation de Lorentz comme une rotation conservant la norme du quaternion. Ecrite comme rotation la TL fait intervenir des angles imaginaires, d'où des fonctions hyperboliques. Mais dans l'espace des quaternions, ce serait des angles réels. Mais où est l'axe de la rotation ? Merci de m'aider.

    Bonjour,

    On peut representer les rotations de SO(3) par des quaternions H . Donc on ne peux pas a priori representer SO(4) ou SO(3,1) par des quaternions.

    Comme SO(3,1) a pour algébre su(2)*su(2) il faut en termes de quaternions utiliser le produit tensoriel H*H cad representer les transformations de Lorentz par des quaternions dont les coéfficients sont des quaternions.

    Par contrer SO(3,1) contient SO(3) comme sous-groupe que l'on peut representer par des quaternions à coefficients réels.

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