Quaternion et Physique

[invited749d0b6]

Bonjour,

Pourriez-vous me donner un exemple d'application des quaternions à la physique ?
En effet, en relativité, l'espace est , il y a une forme quadratique mais ce n'est pas une norme, tandis que sur les quaternions, c'est une norme.
Merci d'avance
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[invite7ce6aa19]

Bonjour,

Pourriez-vous me donner un exemple d'application des quaternions à la physique ?
En effet, en relativité, l'espace est , il y a une forme quadratique mais ce n'est pas une norme, tandis que sur les quaternions, c'est une norme.
Merci d'avance

Bonjour,

Sous réserve d'avoir bien compris ta question, les quaternions constituent une representation du groupe de rotation, en fait de son recouvrement donc isomorphe à SU(2).

Par ailleurs l'algébre de Lie du groupe des transformations de Lorentz de la relativité SO(3,1) c'est su(2)*su(2). Il est donc facile de voir que les quaternions peuvent representer la RR. En fait la RR est complètement impliquée dans l'algébre Clifford. L'algébre des quaternions étant une algébre de Clifford.

[invited749d0b6]

Bonjour,

Sous réserve d'avoir bien compris ta question, les quaternions constituent une representation du groupe de rotation, en fait de son recouvrement donc isomorphe à SU(2).

Par ailleurs l'algébre de Lie du groupe des transformations de Lorentz de la relativité SO(3,1) c'est su(2)*su(2). Il est donc facile de voir que les quaternions peuvent representer la RR. En fait la RR est complètement impliquée dans l'algébre Clifford. L'algébre des quaternions étant une algébre de Clifford.

Merci beaucoup pour ta réponse.
Je comprends le premier paragraphe. Mais pour le deuxième, je dois faire une erreur dans le raisonnement qui suit:
SO(3,1) est le produit cartésien de SU(2) par SU(2), donc SO(3,1) est compact car SU(2) l'est. Or il me semble que SO(3,1) est non borné.
Merci d'avance

[invite7ce6aa19]

Merci beaucoup pour ta réponse.
Je comprends le premier paragraphe. Mais pour le deuxième, je dois faire une erreur dans le raisonnement qui suit:
SO(3,1) est le produit cartésien de SU(2) par SU(2), donc SO(3,1) est compact car SU(2) l'est. Or il me semble que SO(3,1) est non borné.
Merci d'avance

Je ne crois pas que le groupe SO(3,1) soit le produit catésien de groupe SU(2)*SU(2) par contre l'algébre de Lie du groupe SO(3,1) c'est bien le produit des algébres de Lie su(2)*su(2)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited749d0b6]

Ah, oui, j'avais mal lu. Merci !

[invite00fc3204]

Je me demande si on ne peut pas écrire la transformation de Lorentz comme une rotation conservant la norme du quaternion. Ecrite comme rotation la TL fait intervenir des angles imaginaires, d'où des fonctions hyperboliques. Mais dans l'espace des quaternions, ce serait des angles réels. Mais où est l'axe de la rotation ? Merci de m'aider.

[invite7ce6aa19]

Je me demande si on ne peut pas écrire la transformation de Lorentz comme une rotation conservant la norme du quaternion. Ecrite comme rotation la TL fait intervenir des angles imaginaires, d'où des fonctions hyperboliques. Mais dans l'espace des quaternions, ce serait des angles réels. Mais où est l'axe de la rotation ? Merci de m'aider.

Bonjour,

On peut representer les rotations de SO(3) par des quaternions H . Donc on ne peux pas a priori representer SO(4) ou SO(3,1) par des quaternions.

Comme SO(3,1) a pour algébre su(2)*su(2) il faut en termes de quaternions utiliser le produit tensoriel H*H cad representer les transformations de Lorentz par des quaternions dont les coéfficients sont des quaternions.

Par contrer SO(3,1) contient SO(3) comme sous-groupe que l'on peut representer par des quaternions à coefficients réels.