Masse relativiste, démonstration

invited87ba260 · 29/10/2008, 12h24

Bonjour,
je suis entrain de bouquiner un peu sur la relativité, plus exactement le Lorrain et Corson "champs et ondes électromagnétiques".
Il y a un passage sur la masse relativiste, et honnêtement j'ai un peu de mal à saisir les calculs qui permettent d'arriver à cette formule :
m_a/m_b=[(1-(v_b/c)²)/(1-(v_a/c)²)]_1/2
Dans la situation : 2 particules A et B de même "masse au repos" en choc élastique (quantité de mouvement conservée), les deux masses glissant selon l'axe des x dans un repère R₁ avec une vitesse v₀.Les 2 masses ont dans un référentiel R₂ qui se déplace suivant l'axe des x à une vitesse +V par rapport à R₀ des vitesses v_a et v_b

Et donc là... je sèche. Quelqu'un aurait-il une idée de comment il en arrive à cette formule ??? Parce sur le bouquin il pose ça comme ça ...

**Seirios** · 29/10/2008, 13h09

Bonjour,

En se plaçant dans le repère R₂, tu as les masses relativistes $\text{[math]}$ . Sauf erreur de ma part, le quotient des deux masses relativistes devient alors immédiat.

Cela dit, je ne pense pas que le terme de masse relativiste soit encore beaucoup utilisé.

**mach3** · 29/10/2008, 13h12

Premièrement je ne peux que te conseiller de trouver un autre bouquin, la notion de masse relativiste est obsolète. La masse est un invariant dans la formulation moderne de la relativité, il n'y a que la masse au repos. Je ne peux malheureusement pas te proposer de référence.

Deuxièmement, l'ancienne masse relativiste correspond à la masse au repos multipliée par le facteur de lorentz:

$\text{[math]}$

elle permettait d'écrire la quantité de mouvement de la même manière qu'en physique non relativiste :

$\text{[math]}$

Dans la formulation modernr la quantité de mouvement relativiste s'écrit :

$\text{[math]}$

De même l'équation de l'équivalence energie/masse était valable dans toutes les situations pour une particule massive :

$\text{[math]}$

Dans la formulation moderne, elle s'écrit :

$\text{[math]}$ (ce qui redonne E=mc² au repos)

ou encore, plus généralement :

$\text{[math]}$

Pour la formule de ton bouquin, elle se démontre à partir de la définition de la masse relativiste:

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

donc

$\text{[math]}$

m@ch3

PS: doublé!!

winc · 29/10/2008, 14h11

salut,

en effet la notion de masse relativiste n'a plus vraiment la cote actuellement, et pour cause, c'est une interprétation érronée de la relativité restreinte.
Dans l'expression $\text{[math]}$ (module de la partie spatiale du quadri-vecteur impulsion), il ne faut pas rapprocher $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ , mais de $\text{[math]}$ . On défini alors la vitesse relativiste, qui s'interprète dans la théorie comme la dérivée du déplacement par rapport au temps propre $\text{[math]}$ , telle que $\text{[math]}$ .

Ce n'est donc pas la masse qui se modifie avec la vitesse mais la structure même de l'espace-temps (par rapport à un observateur au repos).

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invited87ba260 · 29/10/2008, 14h16

Re,
aïe je crois que je me suis mal exprimé. Il est évident que trouver ce rapport à partir des masses relativistes est plutôt évident. Mon problème n'est pas là, il réside plutôt dans le fait de le trouver SANS les masses relativistes...là je sèche . J'ai bien vu dans littérature une démonstration semblable mais qui n'utilisait pas des mouvements qui suivaient uniquement l'axe des x.
En fait ce qui m'intéresse ce n'est pas en soit la masse relativiste(dont j'ai bien compris qu'elle était quelque peu érronée.. Merci pour la précision d'ailleurs), mais la transformation de masse en RR qui permet une démonstration de E=mc² , d'arriver à la transformation d'une force itou...

**mach3** · 29/10/2008, 14h26

je te conseille alors ceci : http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post1547153

m@ch3

**Seirios** · 29/10/2008, 16h17

Envoyé par winc

Dans l'expression $\text{[math]}$ (module de la partie spatiale du quadri-vecteur impulsion), il ne faut pas rapprocher $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ , mais de $\text{[math]}$ . On défini alors la vitesse relativiste, qui s'interprète dans la théorie comme la dérivée du déplacement par rapport au temps propre $\text{[math]}$ , telle que $\text{[math]}$ .

Pourrais-tu détailler davantage le rapprochement imposé par le quadri-vecteur impulsion ?

**mach3** · 29/10/2008, 16h58

Pourrais-tu détailler davantage le rapprochement imposé par le quadri-vecteur impulsion ?

Le quadrivecteur position est $\text{[math]}$
Le quadrivecteur vitesse est la dérivée par rapport au temps propre de l'objet décrit par le quadrivecteur propulsion:
$\text{[math]}$

c'est en ce sens que gamma est rattaché à la vitesse et non à la masse, car il apparait naturellement dans la quadrivitesse. Au passage la pseudonorme de la quadrivitesse est c

Si on multiplie cette quadrivitesse par la masse, on a évidemment la quadri-impulsion:
$\text{[math]}$
dans laquelle on retrouve "magiquement" l'énergie dans la partie temporelle

. C'est pour cela que ce quadrivecteur est plus souvent appelé energie-impulsion.

Au passage, la pseudo-norme de ce quadrivecteur est la masse m

ahhh cette formulation quadrivectorielle est d'une puissance et d'une magnificence...

m@ch3

invité576543 · 29/10/2008, 18h17

Envoyé par mach3

Au passage la pseudonorme de la quadrivitesse est c (...)

$\text{[math]}$

Au passage, la pseudo-norme de ce quadrivecteur est la masse m

Ca doit pas être la même pseudo-norme

Cordialement,

**mach3** · 29/10/2008, 18h23

au temps pour moi, c'est mc

Ça devient m en unités naturelles (c=1)

m@ch3

invité576543 · 29/10/2008, 18h28

Envoyé par mach3

Ça devient m en unités naturelles (c=1)

On peut aussi prendre pour U = (1, v/c), de pseudo-norme 1. Ca donne P = mU = (E/c², p/c), de pseudo-norme m. Ce n'est qu'une affaire de convention, mais je suis toujours mal à l'aise avec la perte de "visibilité" de la dimension en prenant c=1.

Cordialement,

**Seirios** · 30/10/2008, 09h28

Merci pour ces précisions

winc · 30/10/2008, 10h17

Envoyé par mach3

Le quadrivecteur vitesse est la dérivée par rapport au temps propre de l'objet décrit par le quadrivecteur propulsion:

le quadrivecteur propulsion ! j'l'avais jamais vu celui-là !!

au fait merci mach3 d'avoir fait la démonstration.

**mach3** · 30/10/2008, 11h33

mince personne ne l'avait vu avant celle-là... quelqu'un peut corriger l'erreur, ça fait vraiment moche

m@ch3

**Seirios** · 30/10/2008, 17h20

Envoyé par mach3

je te conseille alors ceci : http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post1547153

J'ai refait ta démonstration avec l'indication donnée par ù100fil (utiliser le fait que $\text{[math]}$ ), et j'ai quelques points qui me dérangent :

Tout d'abord, tu écris $\text{[math]}$ , mais ne vaudrait-il pas écrire $\text{[math]}$ ? Sur le moment, je pensais que tu avais dû poser t=1 par simplification, mais tu effectues de nombreux changements de variables sans pour autant modifier les bornes d'intégration ; il y a une raison à cela ? Personnellement, j'ai effectué les changements, et je trouve le bon résultat : $\text{[math]}$ .

Ensuite, une fois arrivé au résultat, je ne comprends pas pourquoi on déduit de $\text{[math]}$ ; je suis conscient qu'il faut retrouver les équations de la mécanique newtonienne lorsque $\text{[math]}$ , mais s'il s'agissait de la seule justification, ne pourrions-nous pas avoir $\text{[math]}$ ?

invitedbd9bdc3 · 30/10/2008, 21h17

Envoyé par Phys2

Ensuite, une fois arrivé au résultat, je ne comprends pas pourquoi on déduit de $\text{[math]}$ ; je suis conscient qu'il faut retrouver les équations de la mécanique newtonienne lorsque $\text{[math]}$ , mais s'il s'agissait de la seule justification, ne pourrions-nous pas avoir $\text{[math]}$ ?

Si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ (sinon tu n'as pas posé v=0

)
Par contre, je ne vois pas (en regardant vite fait le probleme), pourquoi on ne peut pas ajouter un terme constant à E (de la forme $\text{[math]}$ .
Peut-etre que la methode n'est pas auto-consistante...

**Seirios** · 31/10/2008, 13h18

Envoyé par Thwarn

Si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ (sinon tu n'as pas posé v=0

)

Effectivement

Je pensais à ajouter un terme qui tendait vers zéro pour v<<c.

Sinon, l'énergie $\text{[math]}$ devrait représenter l'énergie cinétique, et ne devrions-nous pas retrouver la formule newtonienne $\text{[math]}$ pour v<<c ?

Envoyé par mach3

On a donc $\text{[math]}$ , qui se trouve après quelques lignes de calcul être $\text{[math]}$

Il n'y a pas un problème d'homogénéité ?

invitedbd9bdc3 · 31/10/2008, 13h36

Envoyé par Phys2

Sinon, l'énergie $\text{[math]}$ devrait représenter l'énergie cinétique, et ne devrions-nous pas retrouver la formule newtonienne $\text{[math]}$ pour v<<c ?

Si, c'est d'ailleurs ce que tu vas trouver si tu devellope ton gamma en puissance de v/c.

Envoyé par Phys2

Il n'y a pas un problème d'homogénéité ?

En effet, il manque soit un carré sur le v, soit un c. Mais j'ai la flemme de chercher

**Seirios** · 31/10/2008, 13h55

Si, c'est d'ailleurs ce que tu vas trouver si tu devellope ton gamma en puissance de v/c.

Mais on a $\text{[math]}$ , d'où $\text{[math]}$ , non ? Donc $\text{[math]}$

(Sinon, en développant davantage, j'arrive effectivement au résultat, mais je ne vois pas pourquoi on trouverait des résultats différents...)

invité576543 · 31/10/2008, 14h00

Envoyé par Phys2

Mais on a $\text{[math]}$ , d'où $\text{[math]}$ , non ? Donc $\text{[math]}$

Pourquoi "hum"? C'est bien ce à quoi il fallait s'attendre, non? (mv²/2 ça tend aussi vers 0 quand v/c tend vers 0 !)

Cordialement,

**Seirios** · 31/10/2008, 14h05

Oui, mais j'arrive à la forme équivalente $\text{[math]}$ , donc on trouve une limite différente ; c'est davantage la différence des deux résultats qui me gène...

invité576543 · 31/10/2008, 14h08

Envoyé par Phys2

Oui, mais j'arrive à la forme équivalente $\text{[math]}$ , donc on trouve une limite différente ; c'est davantage la différence des deux résultats qui me gène...

Il me semble que tu confonds limite et approximation.

La limite c'est 0.

mv²/2 ou mv²/2 - 3/4 mv⁴/c² sont des approximations de delta E pour v petit. Des fonctions f(v) telles que |Delta E(v)-f(v)| << f(v) quand v petit.

Cordialement,

**Seirios** · 31/10/2008, 20h23

Envoyé par Michel

Il me semble que tu confonds limite et approximation.

Exact, je me suis embrouillé l'esprit sur ce point ; merci d'avoir rectifié !

**Seirios** · 01/11/2008, 07h09

Envoyé par Thwarn

En effet, il manque soit un carré sur le v, soit un c. Mais j'ai la flemme de chercher

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

C'était simplement en passant de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ , qu'un carré a été oublié.

Masse relativiste, démonstration

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