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La méthode d'Erastosthène



  1. #1
    brouilili

    La méthode d'Erastosthène


    ------

    Bonjour tout le monde !!

    J'ai un devoir maison a faire pour jeudi de la rentré sauf que je comprend pas grand chose donc j'espère que vous pourrez m'aider et rapidement svp j'aimerais bien l'avoir fini avant le fin de la semaine ...

    Voici le texte :

    Eratosthène était un contemporain d’Archimède. Il dirigea la bibliothèque d’Alexandrie, en Egypte, vers 250 avants JC. Outre une carte du monde détaillée, utilisant pour la première fois les méridiens et les parallèles, on lui doit une valeur remarquablement précise du diamètre de la Terre, qu’il obtint grâce à une méthode ingénieuse.

    Le diamètre de la Terre

    Eratosthène est persuadé, comme Aristote, que la Terre est sphérique; il croit également que le Soleil en est très éloigné, et que ses rayons arrivent quasi-parallèles en tout point du globe terrestre. Syène (de nos jours Assouan), est une ville du Sud de l'Egypte, proche du Tropique du Cancer. [doc. 3]
    Eratosthène a appris, vraisemblablement par des voyageurs, que dans cette ville le 21 juin, jour du solstice d'été, on peut voir à midi le Soleil se réfléchir au fond d'un puit profond et étroit. Si l'on plante un bâton vertical (un gnomon), midi est l'heure à laquelle son ombre a une longueur minimale, en tout point du globe terrestre. Ce 21 juin à Syène, un gnomon n'a pas d'ombre à midi.

    Le même jour et à la même heure, Eratosthène constate qu'à Alexandrie, la longueur de l'ombre d'un gnomon n'est pas nulle. Il attribue cette différence à la rotondité de la Terre, dont il veut mesurer le rayon. Connaissant la longueur de l'ombre du gnomon à Alexandrie, il obtient alors l'angle que font les rayons de Soleil avec la verticale de ce lieu : un cinquantième de cercle, soit environ 7°. Eratosthène sait par ailleurs que les caravanes de chameaux mettent cinquante jours pour venir de Syène à Alexandrie. En estimant que ces chameaux parcourent environ 100 stades par jour, il calcule la distance entre les deux villes : environ 5000 stades, soit 800 km. Il en déduit une valeur du rayon de la Terre : environ 6500 km. La valeur réelle est plus proche de 6400 km, ce qui représente une erreur de moins de 2%.

    QUESTIONS :

    1. Quelle est la position particulière de Syène sur Terre ?

    2. Pourquoi Eratosthène doit-il faire la mesure à midi ? Le midi tel qu'il a été défini dans le texte correspond-il au midi indiqué par votre montre ?

    3. Comment définir la droite représentant la verticale en un point de la Terre ?

    4. Quelle est la relation entre α et β ?

    5. En exploitant la valeur de l'angle obtenue par Eratosthène et en vous aidant du Doc 4, refaites le calcul de la circonférence de notre planète. Vous supposerez que les rayons solaires nous arrivent parallèles, et vous utiliserez la formule donnant le périmètre d'un cercle.

    6. Pour que la mesure d'Eratosthène soit plus précise, il faudrait que Syène et Alexandrie se situent exactement sur une ligne particulière : laquelle ? Est-ce le cas ?

    7. Trouvez d'autres causes d'erreurs possibles faussant la mesure d'Eratosthène.

    Voilà j'espère que vous pourrez m'aidez,
    merci d'avances.

    -----
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    Dernière modification par brouilili ; 29/10/2008 à 17h53. Motif: oubli du texte

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  3. #2
    _Goel_

    Re : La méthode d'Erastosthène

    salut,
    Citation Envoyé par brouilili Voir le message
    1. Quelle est la position particulière de Syène sur Terre ?
    Prend un bâton plante-le dans le sol dans la pénombre et éclaire-le avec une lampe de poche. Maintenant essaye de faire diminuer l'ombre du bâton...
    2. Pourquoi Eratosthène doit-il faire la mesure à midi ? Le midi tel qu'il a été défini dans le texte correspond-il au midi indiqué par votre montre ?
    prend un cadran solaire et essayye de définir précisément une heure... c'est très aléatoire et très imprécis. il n'y a qu'un moment dans la journée ou on peut définir précisément l'heure...
    3. Comment définir la droite représentant la verticale en un point de la Terre ?
    prend un ballon et essaye de voir comment on pourrait planter un baton à "la verticale" sur la surface de ce ballon
    4. Quelle est la relation entre α et β ?
    ça sent la trigonométrie à plein nez !
    5. En exploitant la valeur de l'angle obtenue par Eratosthène et en vous aidant du Doc 4, refaites le calcul de la circonférence de notre planète. Vous supposerez que les rayons solaires nous arrivent parallèles, et vous utiliserez la formule donnant le périmètre d'un cercle.
    faut identifier des triangles rectangles et faire les calculs qui vont bien...
    6. Pour que la mesure d'Eratosthène soit plus précise, il faudrait que Syène et Alexandrie se situent exactement sur une ligne particulière : laquelle ? Est-ce le cas ?
    Prend une mapemonde et essaye de reproduire l'expérience !
    7. Trouvez d'autres causes d'erreurs possibles faussant la mesure d'Eratosthène.
    verticalité du bâton, mesure sur un terrain en pente (quoique, à l'époque on savait éviter ça), longueur du bâton (à cette époque les doubles décimètres n'existaient pas), imprécision des tables trigonométriques... etc...
    Le succès c'est d'être capable d'aller d'échec en échec sans perdre son enthousiasme

  4. #3
    Pio2001

    Re : La méthode d'Erastosthène

    Citation Envoyé par _Goel_ Voir le message
    Prend un bâton plante-le dans le sol dans la pénombre et éclaire-le avec une lampe de poche. Maintenant essaye de faire diminuer l'ombre du bâton...
    A la même question, j'aurais répondu "vers le tropique du cancer"...

    Citation Envoyé par _Goel_ Voir le message
    prend un cadran solaire et essayye de définir précisément une heure... c'est très aléatoire et très imprécis. il n'y a qu'un moment dans la journée ou on peut définir précisément l'heure...
    J'aurais dit "pour faire sa mesure au moment où le Soleil se reflète dans le puits".
    Quand aux écarts avec l'heure légale, il y a la différence de longitude, et l'équation du temps, qui fait que le jour solaire varie au cours de l'année.

    Citation Envoyé par _Goel_ Voir le message
    prend un ballon et essaye de voir comment on pourrait planter un baton à "la verticale" sur la surface de ce ballon
    La verticale ? C'est la direction de la chute des corps... la perpendiculaire à la surface d'un liquide... la direction du fil à plomb...

    Citation Envoyé par _Goel_ Voir le message
    ça sent la trigonométrie à plein nez !
    Plutôt un théorème sur les angles alternes internes.

    Citation Envoyé par _Goel_ Voir le message
    faut identifier des triangles rectangles et faire les calculs qui vont bien...
    Pas de triangle rectangle dans l'affaire. De l'angle à la surface on déduit l'angle au centre, de celui-ci la fraction de circonférence, donc la circonférence complète, et de la circonférence le rayon.

    Citation Envoyé par _Goel_ Voir le message
    Prend une mapemonde et essaye de reproduire l'expérience !
    ?
    L'heure solaire devant être synchro, il faut qu'elles soient sur le même méridien.

    Citation Envoyé par _Goel_ Voir le message
    verticalité du bâton, mesure sur un terrain en pente (quoique, à l'époque on savait éviter ça), longueur du bâton (à cette époque les doubles décimètres n'existaient pas), imprécision des tables trigonométriques... etc...
    Pas de double décimètres à l'époque ? Je veux bien que Numérobis construise un peu de travers, mais tout de même...

    Je dirais d'abord l'imprécision de la distance entre les villes. L'énoncé parle du temps mis par des caravanes de chameaux. J'avais lu pour ma part que la distance était estimée par des arpenteurs qui comptaient leurs pas. Mais les deux doivent contourner des obstacles. Difficile, je pense, de mesurer en ligne droite.
    Il y a la taille du puits. S'il n'est pas assez profond ou étroit, le Soleil peut s'y refléter en oblique.
    Il y a la taille angulaire du Soleil, qui rend l'ombre floue. Mais Eratosthène pouvait se donner les moyens de faire une mesure précise. Par exemple en plaçant des toiles sur un échafaudage aussi élevé que possible, et en plaçant une toile percée au sommet. L'image du Soleil est projetée sur le sol à travers le trou. Il peut la dessiner au fur et à mesure que le jour avance. Puis en déterminer le centre à l'aide d'un compas. Il mesure ensuite la plus courte distance avec la verticale du trou, donnée par un fil à plomb, et la compare à la longueur du fil à plomb. Ce qui lui donne une mesure d'angle très précise.
    Il y a la différence d'altitude entre les villes, qui rallonge la distance mesurée par la route, alors qu'il nous faudrait la distance ramenée au niveau de la mer.
    Il y a le fait que la Terre n'est pas tout-à-fait ronde. Et qu'on mesure en fait une fraction de circonférence d'ellipse.
    Le non parallélisme des rayons solaires est vraiment minime, mais Eratosthène l'imaginait plus grand.
    Dans un espace vectoriel discret, les boules fermées sont ouvertes.

  5. #4
    _Goel_

    Re : La méthode d'Erastosthène

    PS je donnais pas les solutions, mais des pistes de recherche.

    bon c'est vrai que pour le calcul du rayon, on peut passer par la circonférence.... c'est quand même plus simple !
    Le succès c'est d'être capable d'aller d'échec en échec sans perdre son enthousiasme

  6. #5
    brouilili

    Re : La méthode d'Erastosthène

    Merci de m'avoir aidée.
    Je pense avoir a peu près tout réussi.

  7. A voir en vidéo sur Futura

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