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Limitation de la mecanique analytique



  1. #1
    4LoTuS4

    Smile Limitation de la mecanique analytique


    ------

    Bonsoir à tous!

    J'ai un petit problème pour définir les limitations de la mécanique analytique. A partir de quand ne peut-on plus résoudre un problème mécanique de façon analytique, où ce situe la Mécanique des Milieux Continues là dedans?

    Y-a-t'il un rapport avec le nombre un nombre d'équation insuffisants par rapport au inconnus?

    En fait je suis un peu perdu dans la segmentation de la mécanique en fonction des domaines d'applications et des limitations.

    Merci et bonne soirée!

    -----

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  3. #2
    Jean_Luc

    Re : Limitation de la mecanique analytique

    Bonsoir,

    Citation Envoyé par 4LoTuS4 Voir le message
    Bonsoir à tous!
    J'ai un petit problème pour définir les limitations de la mécanique analytique. A partir de quand ne peut-on plus résoudre un problème mécanique de façon analytique, où ce situe la Mécanique des Milieux Continues là dedans?
    A partir du moment ou la géométrie devient difficile voire impossible à décrire analytiquement.

    Citation Envoyé par 4LoTuS4 Voir le message
    Y-a-t'il un rapport avec le nombre un nombre d'équation insuffisants par rapport au inconnus?
    On a toujours un nombre suffisant d'équations et d'inconnus, le problème est que le système à résoudre (je pense aux éléments finis) comporte un très grand nombres d'équations et que l'on ne peut pas le résoudre par une technique classique. Il faut employer des méthodes itératives (Jacobi, Gauss Seidel, SOR, ...) et elle peuvent diverger.
    L'Univers est fini. Ah bon déjà ?

  4. #3
    lguenhael

    Re : Limitation de la mecanique analytique

    Bonsoir,

    Je pense que vous confondez "mécanique analytique" et "méthodes analytiques".

    Cordialement.

  5. #4
    Jean_Luc

    Re : Limitation de la mecanique analytique

    Bonsoir,

    Pour moi la mécanique analytique c'est justement ce qui regroupe l'ensemble des "méthodes analytiques" qui décrive des comportements locaux parfois globaux.
    Je me trompe peut-être....

    Cordialement.
    L'Univers est fini. Ah bon déjà ?

  6. #5
    Karibou Blanc

    Re : Limitation de la mecanique analytique

    Pour moi la mécanique analytique
    Sauf qu'en fait, la mécanique analytique désigne les mécaniques de Lagrange et Hamilton, c'est-à-dire le principe de moindre action, les équations d'Hamilton-Jacobi, les variables conjuguées, le crochet de Poisson etc...
    Je pense que c'etait ca le fond de la question, mais je peux me tromper aussi
    Well, life is tough and then you graduate !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Jean_Luc

    Re : Limitation de la mecanique analytique

    Je suis entièrement d'accord avec vous et tous ces principes fondamentaux s'appliquent sur un ensemble de conditions initiales données lesquelles sont arbitraires. On peut résoudre le problème de manière analytique parfois (lorsque ces conditions ne sont pas trop compliquées) et d'autres fois on à recourt à des solutions numériques
    (qui peuvent aussi échouer).

    C'est comme ça que j'avais compris la question initiale, la limite de la résolution analytique...
    L'Univers est fini. Ah bon déjà ?

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  10. #7
    lguenhael

    Re : Limitation de la mecanique analytique

    Re,

    Citation Envoyé par Karibou Blanc
    Sauf qu'en fait, la mécanique analytique désigne les mécaniques de Lagrange et Hamilton, c'est-à-dire le principe de moindre action, les équations d'Hamilton-Jacobi, les variables conjuguées, le crochet de Poisson etc...
    Exactement Karibou Blanc.

    Citation Envoyé par Karibou Blanc
    Je pense que c'etait ca le fond de la question, mais je peux me tromper aussi
    C'est là ou je pense l'inverse justement.

    Citation Envoyé par Jean_Luc
    Pour moi la mécanique analytique c'est justement ce qui regroupe l'ensemble des "méthodes analytiques" qui décrive des comportements locaux parfois globaux.
    Ca confirme ce que je pensais.

    Comme le dit Karibou Blanc "la mécanique analytique désigne les mécaniques de Lagrange et Hamilton", or si on ne sait pas ça on a tendance à penser que "la mécanique analytique c'est ce qui regroupe l'ensemble des méthodes analytiques".

    Donc les questions de départ étaient je pense :

    - Comment définir les limitations des méthodes analytiques utilisées en mécanique ?

    - A partir de quand ne peut-on plus résoudre un problème mécanique de façon analytique?

    - Et où ce situe la Mécanique des Milieux Continues là dedans?

    - Y-a-t'il un rapport avec le nombre un nombre d'équation insuffisants par rapport au inconnus?

    Maintenant pour répondre à ces questions je dirais :

    Qu’en générale toute méthode analytique possède des limites de validité données.

    Par ailleurs, on peut toujours (à mon sens) résoudre un problème mécanique de façon analytique sauf qu’il n’y a parfois pas encore de méthode analytique existante pour résoudre le problème donné. On pourra alors éventuellement mettre au point une méthode valide dans le domaine du cas considéré ou étendre une méthode existante pour laquelle on sortait du domaine initial.

    La mécanique des milieux continus va elle te permettre de résoudre les problèmes d’une manière plus générale. Elle peut même te permettre de mettre au point des méthodes analytiques justement à partir des résultats que tu auras obtenus via la mécanique des milieux continus (en utilisant le plus souvent la méthode des éléments finis).

    Enfin pour la dernière question je dirais qu’il n’y en a aucun.

    Cordialement.

  11. #8
    Ising

    Re : Limitation de la mecanique analytique

    Bonjour à tous,

    Je vais apporter ma petite contribution au débat. Ce n'est que mon avis, évidement

    Il n'est pas facile de définir précisément ce qu'est la mécanique analytique, vu que c'est une discipline transdisciplinaire, à chemin entre les maths et la physique.

    De mon coté, j'aurais tendance à dire que la mécanique analytique, c'est l'étude des systèmes dynamiques en utilisant les méthodes classiques du type formulation Lagrangienne, principe de moindre action, etc...

    On pourrait avoir l'impression que je reprend la définition de Karibou, mais il y a un petit bémol à mettre: je ne suppose pas que le système admette une formulation hamiltionnienne, ou que l'énergie soit conservée. Dans certains systèmes dissipatifs, comme l'oscillateur de Van der Pol, des considérations sur l'énergie, même si elle n'est pas conservée, peuvent présenter un intérê. Ce genre de système, pour moi, même si il n'est plus à proprement parler hamiltonien, reste du ressort de la mécanique analytique.

    Pour savoir ce que sont les méthodes analytiques, j'aurais tendance à dire que ce sont toutes les méthodes s'appliquant aux systèmes intégrables. Dans ce contexte, on peut répondre facilement à la question:

    Citation Envoyé par lguenhael Voir le message
    - Comment définir les limitations des méthodes analytiques utilisées en mécanique ?
    Il existe des systèmes non-intégrables, et des conditions suffisantes pour ne plus avoir de systèmes intégrables. C'est grosso modo le travail de Poincaré et ses successeurs.

    - A partir de quand ne peut-on plus résoudre un problème mécanique de façon analytique?
    A partir du moment où le système n'est plus intégrable. Maintenant, il faut savoir à partir de quand un système n'est plus intégrable. On peut trouver des conditions nécessaires (par exemple une certaine dose de non-linéarité), et des conditions suffisantes (par exemple, des variétés instables qui intersectent perpendiculairement des variétés stables) pour perdre l'intégrabilité, mais des conditions nécessaires et suffisantes, il n'y en a pas, AMHA.

    Maintenant, la non-intégrabilité ne veut pas dire qu'on ne peut plus traiter le système de façon mathématique. En général, il faut quitter le cadre de la mécanique analytique, pour utiliser des méthodes de théorie du chaos.

    - Et où ce situe la Mécanique des Milieux Continues là dedans?
    La MMC admet une formulation Lagrangienne/Hamiltonienne, si je ne m'abuse. Donc, elle rentre dans le cadre de la mécanique analytique. Concernant son intégrabilité, ça va se jouer au cas par cas. (Par exemple, les équations de Navier-Stokes en 3D ne sont pas intégrables)

    - Y-a-t'il un rapport avec le nombre un nombre d'équation insuffisants par rapport au inconnus?
    En général, en mécanique analytique, on a autant d'équations que d'inconnues, non ? Donc aucun. C'est plus une histoire de non-linéarité de l'équation.

    A+

    Ising

  12. #9
    Jean_Luc

    Re : Limitation de la mecanique analytique

    Bonjour,

    (Par exemple, les équations de Navier-Stokes en 3D ne sont pas intégrables)
    Je rajouterai juste dans le cas général, dans la mesure ou l'on connaît au moins une solution particulière analytique pour l'écoulement dans les tubes. Je pense a l'équation de Hagen-Poiseuille.
    L'Univers est fini. Ah bon déjà ?

  13. #10
    4LoTuS4

    Re : Limitation de la mecanique analytique

    Bonjour à tous!

    Et bien je vous remercie tous beaucoup pour vos lumières avec un peu de retard et j'en suis désolé. Je vois que la question est bien plus compliqué que je ne l'avais pensé, et vos informations vont me forcer à me replonger dans cet univers, mais vous m'avez permis de mettre le doigt sur ma lacune. Je confondais Mécanique et méthode analytique.
    J'aime bien la pensé d'lguenhael qui dit qu'il y a toujours moyen de résoudre un problème de manière analytique et sinon que la seule limitation est lié à l'inexistence de l'outil adéquat.
    Pourtant lorsque l'on utilise les éléments finis, c'est bien parceque la forme géométrique devient trop complexe comme le disait Jean_Luc non? De ce fait on passe d'une méthode de résolution analytique à une méthode numérique c'est bien ca?

    Qu'entendez vous exactement par système intégrable?

    Merci pour votre impliquation, bonne soirée à tous.

    Romain.

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