Intéprétation physique équation diff

[invite78e84125]

Salut, je me retrouve avec cette solution d'equation diff :

x(t) = - b*1/a * e^(-at) + b * 1/a
a et b sont des constantes non nulles
a > 0 et b > 0
et je dois donner le sens de variation, asymptote, pente à l'origine, valeur de t pour lequel la valeur finale x est attenite à 99%.


sens de variation :
x'(t) = b * e^(-at) > 0 donc croissante

lim x(t) = b * 1/a donc asymptote d'équation y = b *1/a
t -> +inf

pente à l'origine : là j'ai honte, je ne sais pas

et je comprend pas : donner la valeur de t pour lequel la valeur finale de x est atteinte à 99%.

merci pour les diffèrentes aides
-----

[lpeg]

Bonsoir, la pente à l'origine représente la valeur de la dérivé en 0.

Pour 99% je pense qu'il faut écrire x/x_final = 0,99.

[vaincent]

salut,

la pente à l'origine est simplement x'(t=0), qui est le coeff directeur de la tangente au point x(t=0), autrement dit la pente. La valeur finale de x est x(t->inf), ce que tu as calculé comme étant b/a. Cherche donc la valeur de t pour laquelle x(t) = 0,99*b/a

[invite78e84125]

merci c'est compris

plus qu'une chose floue dans ma tête

on a x(t) = -b/a*cos(wt) + c/w * sin(wt) + b/a
avec w = racine(a)

position centrale = b/a
période = 2pi/w

mais l'amplitude ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[lpeg]

Il ne faut pas confondre l'amplitude crête à crête à l'amplitude simple :

l'amplitude de ton signal est x_max - position central

[invite78e84125]

ok je vois c'est quoi l'amplitude crête à crête, l'amplitude

mais je ne trouve pas xmax

il faut que ici wt = pi/2
comme ca ca annule le cos et on a xmax = c/w + b/a

[lpeg]

Pas évident de trouver x_max...

L'expression :



Peut-être mis sous la forme :



En effet :

[invite78e84125]

je ne comprend pas comment tu passe de la première ligne à la seconde dans le en effet

[lpeg]

développe le deuxième terme de l'égalité et tu va retrouver l'expression initiale...

j'ai juste mis en facteur

[lpeg]

Pardon je viens de comprendre ta question...

Pour bien comprendre il faudrait faire un dessin...

Prend un vecteur



Quel est son module ?
Soit l'angle qui le sépare de .
A quoi est égal ?

[invite78e84125]

aie aie aie je comprend pas

[lpeg]

Je sais au début c'est pas évident à voir, mais si tu persistes ça te rendra pas mal de services...

Bon est ce que tu es OK sur cette relation :



et cette relation,

[invite78e84125]

la première oui avec = (vecteurV,vecteuruX)

la deuxième je comprend la première égalité mais pas = A ah si je vois pk ca fait A

[lpeg]

La première est la définition du produit scalaire de deux vecteurs en posant V comme norme pour le vecteur .

la deuxième je comprend la première égalité mais pas = A ah si je vois pk ca fait A

Oui les vecteurs unitaires sont perpendiculaires... Donc le deuxième terme s'annule.

Bien donc on a :





Ok avec ça ?

[invite78e84125]

oui

et comment on obtient sin¤ = B/V ?

[lpeg]

[invite78e84125]

ok merci

et donc de -b/a*cos(wt) + c/w * sin(wt) + b/a

on obtient donc

racine((-b/a)² + (c/w)²) * cos(wt + (A*vec(ux), vec(ux))

et donc l'amplitude vaut racine((-b/a)² + (c/w)²)

[lpeg]

C'est ce que j'aurais dis... Exactement, oui.

[invite78e84125]

merci beaucoup